15. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 42, CM = 48. Найдите OC.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
15 Точки \(M\) и \(N\) являются серединами сторон \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) соответственно. Отрезки \(AN\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\), \(AN=42\), \(CM=48\). Найдите \(OC\). Ответ: ___. [Рисунок: треугольник \(ABC\); точки \(M\) и \(N\) отмечены на сторонах \(AB\) и \(BC\) соответственно; отрезки \(AN\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\).]
16 На окружности по разные стороны от диаметра \(AB\) взяты точки \(M\) и \(N\). Известно, что \(\angle ABM=41^\circ\). Найдите угол \(BNM\). Ответ дайте в градусах. Ответ: ___. [Рисунок: окружность с диаметром \(AB\); точки \(M\) и \(N\) лежат на окружности по разные стороны от \(AB\).]
17 Один из углов ромба равен \(105^\circ\). Найдите угол между высотой и большей диагональю ромба. Ответ дайте в градусах. Ответ: ___. [Рисунок: ромб; проведена высота, отмечен прямой угол.]
На фото три задания — 15, 16 и 17. Решу их по порядку.
15. Ответ: 32.
\(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), значит \(CM\) и \(AN\) — медианы треугольника. Точка их пересечения делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому \[ OC=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}\cdot 48=32. \] Длина \(AN=42\) для этого вопроса не нужна.
16. Ответ: 49°.
Угол \(ABM\) вписанный и опирается на дугу \(AM\), поэтому \[ \text{дуга }AM=2\cdot 41^\circ=82^\circ. \] Так как \(AB\) — диаметр, дуга \(AB\) равна \(180^\circ\), тогда \[ \text{дуга }BM=180^\circ-82^\circ=98^\circ. \] Угол \(BNM\) тоже вписанный и опирается на дугу \(BM\), значит \[ \angle BNM=\frac{98^\circ}{2}=49^\circ. \]
17. Ответ: 52,5°.
Соседний угол ромба: \[ 180^\circ-105^\circ=75^\circ. \] Большая диагональ соединяет вершины острых углов и делит угол \(75^\circ\) пополам, поэтому со стороной она образует \(37{,}5^\circ\). Высота перпендикулярна стороне, значит меньший угол между высотой и диагональю: \[ 90^\circ-37{,}5^\circ=52{,}5^\circ. \] Второй, смежный угол при пересечении прямых, равен \(127{,}5^\circ\); обычно в ответе указывают меньший угол.
