Какое из логических выражений равносильно инверсии дизъюнкции НЕ(А ИЛИ В) согласно закону де Моргана?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вопрос 10. Какое из логических выражений равносильно инверсии дизъюнкции НЕ(А ИЛИ В) согласно закону де Моргана? Выберите один из 4 вариантов ответа: А) НЕ А ИЛИ НЕ В Б) НЕ А И НЕ В В) А И В Г) НЕ А ИЛИ В
Краткий ответ: правильный вариант — Б) НЕ А И НЕ В.
Ключевые шаги и объяснение:
- Вспомним закон де Моргана. Он описывает, как раскрывается отрицание перед скобкой с логической операцией. Для дизъюнкции (ИЛИ) закон звучит так: отрицание дизъюнкции равно конъюнкции (И) отрицаний.
- В виде формулы это записывается так: \[ \neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \]
- Если перевести на обычный язык, «НЕ (А ИЛИ В)» означает, что ни А, ни В не выполняются, то есть «НЕ А И НЕ В».
- Почему другие варианты не подходят:
- А) НЕ А ИЛИ НЕ В — это результат применения второго закона де Моргана для инверсии конъюнкции: \(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B\).
- В) А И В — здесь потеряно отрицание.
- Г) НЕ А ИЛИ В — смешаны разные операции, это не является равносильным преобразованием по закону де Моргана.
Проверка результата:
Я проверил равносильность с помощью таблицы истинности. Посмотри на два последних столбца — значения в них полностью совпадают при любых наборах переменных \(A\) и \(B\):
| \(A\) | \(B\) | \(A \lor B\) | \(\neg(A \lor B)\) | \(\neg A\) | \(\neg B\) | \(\neg A \land \neg B\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Это доказывает, что выражения \(\neg(A \lor B)\) и \(\neg A \land \neg B\) тождественны.
Обсуждение
2 сообщенияКраткий ответ: правильный вариант — А) Все входы равны 1.
Объяснение принципа: Логический вентиль «И» (AND) реализует операцию конъюнкции (логического умножения). Его выходной сигнал равен 1 только в том случае, когда на всех его входах одновременно присутствуют единицы. Если хотя бы на одном входе будет 0, то и на выходе тоже будет 0.
Рассмотрим таблицу истинности для двух входов \(A\) и \(B\):
| Вход \(A\) | Вход \(B\) | Выход \(A \land B\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Как видно из таблицы, единица на выходе появляется только тогда, когда оба входа равны 1. Для вентиля с тремя и более входами правило сохраняется: все они должны быть равны 1.
Почему другие варианты не подходят:
- Вариант Б («Хотя бы один вход равен 1») — это условие для вентиля «ИЛИ» (OR).
- Вариант В («Все входы равны 0») — в этом случае на выходе вентиля «И» гарантированно будет 0.
Проверка результата: Я проверил по таблице истинности: единица на выходе возникает только при совпадении всех единиц на входе. Ответ А верный.
