Проверьте себя. Проверочная работа. 1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми: а) 12 и 15; б) 29 и 34; в) 25 и 30; г) 72 и 73?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ
Проверочная работа

1 Какие из данных чисел являются взаимно простыми:
а) 12 и 15; в) 25 и 30;
б) 29 и 34; г) 72 и 73?

2 Даны разложения на простые множители двух чисел:
2 · 2 · 5 · 7 и 2 · 7 · 11.
Найдите их наибольший общий делитель.

3 Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 34 и 56; в) 102 и 204;
б) 45 и 65; г) 1005 и 960.

4 Разложите на простые множители числа 1440 и 240. Во сколько раз 1440 больше 240?

5 Дана правильная дробь $\frac{m}{15}$. Найдите все значения $m$ такие, чтобы числитель и знаменатель дроби были взаимно простыми.

Answer

Кратко

1. Взаимно простые: б) 29 и 34 и г) 72 и 73.

2. НОД = 14.

3. а) 2; б) 5; в) 102; г) 15.

4. $1440 = 2^5\cdot 3^2\cdot 5$, $240 = 2^4\cdot 3\cdot 5$; 1440 больше 240 в 6 раз.

5. $m = 1,\,2,\,4,\,7,\,8,\,11,\,13,\,14$.

Как это получается

№ 1. Взаимно простые — числа с НОД $=1$, то есть в их разложениях нет ни одного общего простого множителя.

$12 = 2^2\cdot 3$, $15 = 3\cdot 5$ — общий множитель 3, НОД $=3$;

$29$ — простое, $34 = 2\cdot 17$ — общих множителей нет, НОД $=1$;

$25 = 5^2$, $30 = 2\cdot 3\cdot 5$ — общий множитель 5;

$72 = 2^3\cdot 3^2$, $73$ — простое, НОД $=1$.

№ 2. Если разложения уже даны, НОД собирают из общих простых множителей, каждый берут в наименьшей степени. Общие здесь 2 и 7:
$$ \text{НОД} = 2\cdot 7 = 14. $$
Проверка: $140 = 14\cdot 10$, $154 = 14\cdot 11$, а 10 и 11 общих множителей не имеют.

№ 3. Тот же приём.

а) $34 = 2\cdot 17$, $56 = 2^3\cdot 7$ → НОД $= 2$;

б) $45 = 3^2\cdot 5$, $65 = 5\cdot 13$ → НОД $= 5$;

в) $102 = 2\cdot 3\cdot 17$, $204 = 2^2\cdot 3\cdot 17 = 2\cdot 102$ → НОД $= 102$;

г) $1005 = 3\cdot 5\cdot 67$, $960 = 2^6\cdot 3\cdot 5$ → НОД $= 3\cdot 5 = 15$.

Проверка для г): $1005:15 = 67$, $960:15 = 64$, 67 и 64 взаимно просты — значит, 15 действительно наибольший.

№ 4. Делим на простые по очереди:
$$ 1440 = 2^5\cdot 3^2\cdot 5, \qquad 240 = 2^4\cdot 3\cdot 5. $$
Чтобы узнать, во сколько раз одно больше, делим, а при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
$$ \frac{1440}{240} = 2^{5-4}\cdot 3^{2-1}\cdot 5^{1-1} = 2\cdot 3 = 6. $$
Проверка: $240\cdot 6 = 1440$.

№ 5. Дробь правильная, значит $m < 15$, то есть $m = 1, 2, \ldots, 14$. Числитель и знаменатель взаимно просты, если у них нет общих множителей. Так как $15 = 3\cdot 5$, число $m$ не должно делиться ни на 3, ни на 5. Вычёркиваем 3, 5, 6, 9, 10, 12 — остаются 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 (всего 8 значений).