153(а) 154(а) 156(а) 157(в,г)

Хорошо, оформляю заново — по шагам, как пишут в тетради: сначала вид функции, потом вершина, ось, нули, таблица, свойства.

Памятка: откуда берутся формулы

Любую функцию вида \(y=ax^2+bx+c\) приводят к «удобному» виду выделением полного квадрата:

\[ ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right) \]

Отсюда сразу видно:

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=c-\frac{b^2}{4a} \]

Но \(y_0\) проще не считать по формуле, а подставить \(x_0\) в саму функцию. Скобка в квадрате \(\ge 0\), поэтому при \(a>0\) выражение принимает наименьшее значение \(y_0\), а при \(a<0\) — наибольшее \(y_0\).

---

153(а)

1. Вид функции. Раскрывать нечего:

\[ y=\frac13x^2-4x+4,\quad a=\frac13,\ b=-4,\ c=4 \]

Старшая степень — вторая, значит функция квадратичная, график — парабола. Так как \(a=\frac13>0\), ветви направлены вверх.

2. Вершина.

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot\frac13}=\frac{4}{\frac23}=6 \]

\[ y_0=y(6)=\frac13\cdot36-4\cdot6+4=12-24+4=-8 \]

Вершина \(A(6;-8)\).

3. Ось симметрии: прямая \(x=6\) (через вершину вертикально).

4. Нули (там, где \(y=0\)):

\[ \frac13x^2-4x+4=0 \quad \Big|\cdot 3 \]

\[ x^2-12x+12=0 \]

\[ D=(-12)^2-4\cdot1\cdot12=144-48=96 \]

\[ x=\frac{12\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{12\pm4\sqrt6}{2}=6\pm2\sqrt6 \]

То есть \(x\approx1{,}1\) и \(x\approx10{,}9\).

5. Точки для графика (берём симметричные относительно \(x=6\)):

\(x\)	0	3	6	9	12
\(y\)	4	\(-5\)	\(-8\)	\(-5\)	4

6. Свойства.

• Область определения: \((-\infty;+\infty)\).
• Область значений: \([-8;+\infty)\).
• Убывает на \((-\infty;6]\), возрастает на \([6;+\infty)\).
• Наименьшее значение \(y=-8\) при \(x=6\); наибольшего нет.
• \(y>0\) при \(x<6-2\sqrt6\) и \(x>6+2\sqrt6\); \(y<0\) между корнями.

---

154(а)

1. \(y=-\frac12x^2+5\), здесь \(a=-\frac12,\ b=0,\ c=5\). Функция квадратичная, график — парабола, ветви вниз (\(a<0\)).

2. Вершина.

\[ x_0=-\frac{0}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=0,\qquad y_0=5 \]

Вершина \((0;5)\).

3. Ось симметрии: \(x=0\), то есть сама ось \(Oy\).

4. Нули:

\[ -\frac12x^2+5=0 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow x=\pm\sqrt{10} \]

5. Таблица:

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	0	2	4
\(y\)	\(-3\)	3	5	3	\(-3\)

6. Свойства: область значений \((-\infty;5]\); возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\); наибольшее значение \(5\) при \(x=0\). Функция чётная: \(y(-x)=y(x)\).

---

156(а)

1. \(y=(x-2)(x+4)\). Раскроем скобки, чтобы получить общий вид:

\[ y=x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8 \]

Значит \(a=1>0\) — парабола, ветви вверх.

2. Вершина.

\[ x_0=-\frac{2}{2\cdot1}=-1,\qquad y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9 \]

Вершина \((-1;-9)\). (Полезная проверка: она всегда ровно посередине между корнями.)

3. Ось симметрии: \(x=-1\).

4. Нули — их видно прямо из произведения:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2;\qquad x+4=0 \Rightarrow x=-4 \]

5. Таблица:

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	0	1	2
\(y\)	0	\(-5\)	\(-8\)	\(-9\)	\(-8\)	\(-5\)	0

6. Свойства: убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\); наименьшее значение \(-9\); \(y<0\) при \(-4<x<2\).

---

157(в)

1. \(y=x^2-6x-6\), \(a=1>0\) — парабола, ветви вверх, значит у функции есть наименьшее значение (в вершине).

2. Выделяем полный квадрат:

\[ x^2-6x-6=(x^2-6x+9)-9-6=(x-3)^2-15 \]

3. Читаем ответ. \((x-3)^2\ge0\), значит \((x-3)^2-15\ge-15\). Равенство при \(x=3\).

Наименьшее значение: \(-15\) (при \(x=3\)).

---

157(г)

1. \(y=-x^2-3x+2\), \(a=-1<0\) — ветви вниз, значит ищем наибольшее значение.

2. Выделяем квадрат (сначала вынесем минус):

\[ -x^2-3x+2=-\left(x^2+3x\right)+2 \]

\[ x^2+3x=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94 \]

\[ y=-\left(x+\frac32\right)^2+\frac94+2=-\left(x+\frac32\right)^2+\frac{17}{4} \]

3. Минус перед квадратом: \(-\left(x+\frac32\right)^2\le0\), поэтому \(y\le\frac{17}{4}\).

Наибольшее значение: \(\frac{17}{4}=4{,}25\) (при \(x=-\frac32\)).

---

Если нужно, могу разобрать, как по этим же шагам строить график на клетчатой бумаге: где ставить вершину и как симметрично откладывать точки.

Ты прав: для построения графика дискриминант не обязателен — параболу можно построить по вершине и симметричным точкам. Дискриминант нужен только для одного пункта исследования — найти нули функции (точки пересечения с осью \(Ox\), где \(y=0\)).

Зачем он вообще

Нули — это корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Если по заданию требуется указать, где график пересекает ось \(Ox\), или решить неравенство \(y>0,\ y<0\), то корни надо найти точно, а для этого и нужен дискриминант:

\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Если же в задании только «построить график и описать свойства» — можно обойтись вершиной и таблицей. Нули тогда просто читаются с графика приблизительно (в 153(а) это примерно \(1{,}1\) и \(10{,}9\)).

Как выбирать точки для таблицы

Тут есть ловкость: не бери \(x\) наугад. Бери вершину и по 2 симметричные пары:

• \(x=x_0\) — вершина;
• \(x=x_0\pm1\);
• \(x=x_0\pm2\) (или \(\pm3\)).

Тогда точки сами лягут симметрично, и парабола получится ровной. Именно так и составлены таблицы в разборе: в 153(а) \(x_0=6\), взяты \(6;\ 3\) и \(9;\ 0\) и \(12\).

Одна поправка

Вершина в 153(а) — это \((6;-8)\), а не \((6;8)\). Минус важен: \(y_0=-8\), вершина ниже оси \(Ox\). И это не «точка А» из условия, а просто вершина параболы — обозначать её можно любой буквой.

Итог: дискриминант — для точных нулей; для графика хватает вершины плюс симметричных точек.

Таблица для 153(а)

Вершина \(A(6;-8)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=6\). Поэтому берём точки парами на равных расстояниях от \(6\):

\(x\)	0	3	6	9	12
\(y\)	4	\(-5\)	\(-8\)	\(-5\)	4

Это «скелет» для тетради: три точки слева от оси, вершина, две справа.

Почему так, а не наугад

1. Переписываем функцию через вершину. Из выделения квадрата:

\[ y=\frac13x^2-4x+4=\frac13(x-6)^2-8 \]

Проверка: \(\frac13(x^2-12x+36)-8=\frac13x^2-4x+12-8=\frac13x^2-4x+4\) — совпало.

2. Из этой записи видно симметрию. Если отойти от вершины на \(t\), то есть взять \(x=6+t\), получим:

\[ y=\frac13t^2-8 \]

А при \(x=6-t\) будет то же самое, потому что \((-t)^2=t^2\). Значит точки на одинаковом расстоянии от \(x=6\) имеют одинаковую \(y\). Отсюда и пары: \(x=3\) и \(x=9\), \(x=0\) и \(x=12\).

3. Считаем каждое значение.

\(x\)	подстановка	\(y\)
6	\(\frac13\cdot 36-24+4\)	\(-8\)
3	\(\frac13\cdot 9-12+4\)	\(-5\)
9	\(\frac13\cdot 81-36+4\)	\(-5\)
0	\(0-0+4\)	\(4\)
12	\(\frac13\cdot144-48+4\)	\(4\)

Всё сходится: \(y(3)=y(9)\), \(y(0)=y(12)\) — признак того, что таблица составлена верно.

Если нужна «погуще»

Чтобы парабола не получилась угловатой, добавь ещё пары \(x=6\pm1\) и \(x=6\pm2\):

\(x\)	4	5	6	7	8
\(y\)	\(-\frac{20}{3}\approx-6{,}7\)	\(-\frac{23}{3}\approx-7{,}7\)	\(-8\)	\(-7{,}7\)	\(-6{,}7\)

Значения дробные, но это нормально — их просто отмечают приблизительно. Если учитель требует только целые \(y\), оставляй первый вариант: \(0;\ 3;\ 6;\ 9;\ 12\).

Порядок построения

1. Ставим вершину \(A(6;-8)\).
2. Отмечаем пары: \((3;-5)\) и \((9;-5)\), затем \((0;4)\) и \((12;4)\).
3. Проводим плавную кривую через эти точки, ветви вверх, не «углами» — у вершины линия самая пологая.
4. Подписываем ось симметрии \(x=6\).

Проверка по графику: он пересекает \(Ox\) примерно в \(x\approx1{,}1\) и \(x\approx10{,}9\) — это и есть точные нули \(6\pm2\sqrt6\), которые мы нашли через дискриминант.

Коротко

\(x\) мы выбираем сами — подходит любое число. А \(y\) получаем, подставив этот \(x\) в формулу функции. Таблица нужна не для всей параболы (она бесконечная), а для 5–7 точек, по которым её можно аккуратно нарисовать.

Откуда именно \(0;\ 3;\ 6;\ 9;\ 12\)

Толчок — вершина \(x_0=6\). Дальше берём одинаковый шаг влево и вправо от неё. Я взял шаг \(3\):

\[ 6-2\cdot3=0,\quad 6-3=3,\quad 6,\quad 6+3=9,\quad 6+2\cdot3=12 \]

Шаг \(3\) удобен тем, что все \(x\) целые и \(y\) тоже получаются целыми. Можно было взять шаг \(1\) — тогда \(x=4,5,6,7,8\), но \(y\) выйдут дробными. Можно шаг \(2\) — \(x=2,4,6,8,10\). Любой вариант правильный, если точки симметричны относительно вершины.

Если бы вершина была, скажем, \(x_0=-1\) (как в 156(а)), таблицу строили бы вокруг \(-1\): \(-5,-3,-1,1,3\) и т. д.

Как считать \(y\) — да, подстановкой

Формула:

\[ y=\frac13x^2-4x+4 \]

Порядок действий в каждом столбце: возвести \(x\) в квадрат → умножить на \(\frac13\) → вычесть \(4x\) → прибавить \(4\).

\(x=0\):

\[ y=\frac13\cdot0^2-4\cdot0+4=0-0+4=4 \]

\(x=3\):

\[ y=\frac13\cdot3^2-4\cdot3+4=\frac13\cdot9-12+4=3-12+4=-5 \]

\(x=6\):

\[ y=\frac13\cdot6^2-4\cdot6+4=\frac13\cdot36-24+4=12-24+4=-8 \]

\(x=9\):

\[ y=\frac13\cdot9^2-4\cdot9+4=\frac13\cdot81-36+4=27-36+4=-5 \]

\(x=12\):

\[ y=\frac13\cdot12^2-4\cdot12+4=\frac13\cdot144-48+4=48-48+4=4 \]

Собираем в таблицу:

\(x\)	\(0\)	\(3\)	\(6\)	\(9\)	\(12\)
\(y\)	\(4\)	\(-5\)	\(-8\)	\(-5\)	\(4\)

Две частые ошибки

1. Забыть про квадрат. \(3^2=9\), а не \(6\). Сначала квадрат, только потом умножаем на \(\frac13\).
2. Потерять минус у \(-4x\). При \(x=9\): \(-4\cdot9=-36\), а не \(+36\). Из-за этого \(y\) уйдёт не туда.

Самопроверка без калькулятора

Пара точек с одинаковым \(y\) должна стоять на равном расстоянии от \(x=6\): у нас \(3\) и \(9\) дали \(-5\), а \(0\) и \(12\) дали \(4\). Если симметрия нарушилась — где-то ошибка в счёте, пересчитай этот столбец.

План: как описывать свойства (один и тот же для всех парабол)

Записывай по пунктам — их проверяют на уроке:

1. \(D(y)\) — область определения;
2. \(E(y)\) — область значений;
3. нули функции (\(y=0\));
4. промежутки знакопостоянства (\(y>0\), \(y<0\));
5. промежутки возрастания и убывания;
6. наибольшее/наименьшее значение;
7. чётность;
8. точка пересечения с осью \(Oy\).

Главный ориентир — вершина \((x_0;y_0)\) и направление ветвей:

• \(a>0\): ветви вверх, в вершине минимум, \(E(y)=[y_0;+\infty)\), до \(x_0\) функция убывает, после — возрастает;
• \(a<0\): ветви вниз, в вершине максимум, \(E(y)=(-\infty;y_0]\), до \(x_0\) возрастает, после — убывает.

---

153(а). \(y=\frac13x^2-4x+4\)

Вершина \(A(6;-8)\), \(a=\frac13>0\) — ветви вверх, нули \(x=6\pm2\sqrt6\).

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\). Многочлен можно вычислить при любом \(x\) — запретов (дробей с \(x\) в знаменателе, корней) нет.

2. \(E(y)=[-8;+\infty)\). В вершине \(y=-8\), ветви уходят вверх до бесконечности, ниже \(-8\) график не опускается.

3. Нули: \(x=6-2\sqrt6\approx1{,}1\) и \(x=6+2\sqrt6\approx10{,}9\). Это решения уравнения \(\frac13x^2-4x+4=0\).

4. Знаки. Ветви вверх, значит между корнями график ниже оси:

• \(y>0\) при \(x\in(-\infty;\,6-2\sqrt6)\cup(6+2\sqrt6;\,+\infty)\);
• \(y<0\) при \(x\in(6-2\sqrt6;\,6+2\sqrt6)\).

5. Монотонность:

• убывает на \((-\infty;6]\);
• возрастает на \([6;+\infty)\).

6. Экстремумы: \(y_{\text{наим}}=-8\) при \(x=6\); наибольшего значения нет.

7. Чётность: ни чётная, ни нечётная. Проверка: \(y(-x)=\frac13x^2+4x+4\), это не равно ни \(y(x)\), ни \(-y(x)\). Причина — ось симметрии \(x=6\), а не \(x=0\).

8. С осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=4\), точка \((0;4)\).

---

154(а). \(y=-\frac12x^2+5\)

Вершина \((0;5)\), \(a=-\frac12<0\) — ветви вниз, нули \(x=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}2\).

Таблица (шаг \(2\) от вершины):

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-3\)	\(3\)	\(5\)	\(3\)	\(-3\)

Подстановка для двух столбцов: \(y(-4)=-\frac12\cdot16+5=-8+5=-3\); \(y(2)=-\frac12\cdot4+5=-2+5=3\).

Свойства:

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. \(E(y)=(-\infty;5]\) — выше \(5\) не поднимается.
3. Нули: \(x=\pm\sqrt{10}\).
4. \(y>0\) при \(x\in(-\sqrt{10};\sqrt{10})\); \(y<0\) при \(x<-\sqrt{10}\) и \(x>\sqrt{10}\).
5. Возрастает на \((-\infty;0]\), убывает на \([0;+\infty)\).
6. \(y_{\text{наиб}}=5\) при \(x=0\); наименьшего нет.
7. Чётная: \(y(-x)=-\frac12(-x)^2+5=-\frac12x^2+5=y(x)\), ось симметрии — \(Oy\).
8. С \(Oy\): \((0;5)\) — это же и вершина.

---

156(а). \(y=(x-2)(x+4)\)

Раскрываем: \(y=x^2+2x-8\), \(a=1>0\). Вершина \(x_0=-\frac{2}{2}=-1\), \(y_0=1-2-8=-9\).

Таблица (симметрично вокруг \(x=-1\)):

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(0\)	\(-5\)	\(-8\)	\(-9\)	\(-8\)	\(-5\)	\(0\)

Проверка одной точки: \(y(-3)=(-3)^2+2\cdot(-3)-8=9-6-8=-5\).

Свойства:

1. \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).
2. \(E(y)=[-9;+\infty)\).
3. Нули: \(x=-4\) и \(x=2\) — видны прямо из множителей.
4. \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty)\); \(y<0\) при \(x\in(-4;2)\).
5. Убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\).
6. \(y_{\text{наим}}=-9\) при \(x=-1\); наибольшего нет.
7. Ни чётная, ни нечётная (ось \(x=-1\neq0\)).
8. С \(Oy\): \(y(0)=0+0-8=-8\), точка \((0;-8)\).

---

157(в). \(y=x^2-6x-6\) — наименьшее значение

Способ 1 (через вершину). \(a=1>0\), значит есть минимум в вершине:

\[ x_0=-\frac{-6}{2\cdot1}=3,\qquad y_0=9-18-6=-15 \]

Способ 2 (выделение квадрата) — он же служит доказательством:

\[ y=(x-3)^2-15 \]

Так как \((x-3)^2\ge0\), то \(y\ge-15\), причём равенство достигается при \(x=3\).

Ответ: наименьшее значение \(-15\) (при \(x=3\)); наибольшего не существует.

---

157(г). \(y=-x^2-3x+2\) — наибольшее значение

\(a=-1<0\), ветви вниз — есть максимум.

Способ 1:

\[ x_0=-\frac{-3}{2\cdot(-1)}=-\frac32,\qquad y_0=-\frac94+\frac92+2=\frac{17}{4} \]

Способ 2:

\[ y=-\left(x+\frac32\right)^2+\frac{17}{4} \]

Квадрат \(\ge0\), перед ним минус, поэтому \(y\le\frac{17}{4}\), равенство при \(x=-\frac32\).

Ответ: наибольшее значение \(\frac{17}{4}=4{,}25\) (при \(x=-\frac32\)); наименьшего не существует.

---

Что чаще всего снимают на проверке

• Скобки у вершины. В промежутках монотонности вершину включают: пишут \((-\infty;6]\), а не \((-\infty;6)\). В нулях и знаках — круглые скобки, так как там \(y=0\), а не \(>0\).
• Направление монотонности. При \(a>0\) до вершины функция убывает (график идёт вниз), после — возрастает. Легко перепутать, если рисовать «на глаз» — сверяйся с таблицей: у нас \(y\) падает от \(4\) до \(-8\), потом растёт.
• «Наибольшее/наименьшее» не путать с \(E(y)\). Значение — это число (\(-8\)), а промежуток — это множество (\([-8;+\infty)\)).
• Нули в 153(а) лучше писать точно \(6\pm2\sqrt6\), а рядом в скобках приближённо — тогда видно, где ставить точки на оси.

Могу теперь собрать всё это в один «чистовой» вариант для тетради — по каждому номеру: краткая запись, таблица и свойства без пояснений, чтобы можно было переписать.

Откуда взялись нули в 153(а)

Нули — это решения уравнения \(y=0\):

\[ \frac13x^2-4x+4=0 \]

Я решил его через дискриминант:

\[ x^2-12x+12=0 \Rightarrow D=144-48=96 \]

\[ x=\frac{12\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{12\pm4\sqrt6}{2}=6\pm2\sqrt6 \]

То есть \(x_1=6+2\sqrt6\approx10{,}9\), \(x_2=6-2\sqrt6\approx1{,}1\).

Проверка подстановкой (чтобы было видно, что это не «с потолка»). Пусть \(x=6+2\sqrt6\):

\[ x^2=(6+2\sqrt6)^2=36+24\sqrt6+24=60+24\sqrt6 \]

\[ \frac13x^2=20+8\sqrt6,\qquad -4x=-24-8\sqrt6 \]

\[ y=(20+8\sqrt6)+(-24-8\sqrt6)+4=0 \]

Сошлось: корни из \(8\sqrt6\) взаимно уничтожились.

Тот же результат без дискриминанта

Из записи через вершину \(y=\frac13(x-6)^2-8\):

\[ \frac13(x-6)^2-8=0 \Rightarrow (x-6)^2=24 \Rightarrow x-6=\pm2\sqrt6 \]

Это короче и сразу показывает симметрию корней относительно \(x=6\).

Что, скорее всего, пишут у вас

Если в классе нули записывают только целые (когда уравнение раскладывается на множители, как в 156(а)), то для 153(а) корни иррациональные, и возможны два варианта записи:

• точно: нули \(x=6\pm2\sqrt6\);
• по графику: «график пересекает ось \(Ox\) в точках \(x\approx1{,}1\) и \(x\approx10{,}9\)».

Обе записи верны, вторая — если учитель просит определять нули по построенному графику.

Уточни, пожалуйста, одно: как вы записываете нули в таких случаях — с корнем (\(6\pm2\sqrt6\)) или приближённо по графику? Тогда я перепишу свойства 153(а) ровно в вашем формате.

Коротко

\((0;5)\) — это вершина параболы. Первое число — \(x\) вершины, второе — \(y\) вершины.

• \(x_0=0\), потому что в формуле \(y=-\frac12x^2+5\) нет слагаемого с \(x\) (то есть \(b=0\));
• \(y_0=5\), потому что при \(x=0\) первое слагаемое обнуляется: \(-\frac12\cdot0^2=0\), остаётся \(5\).

Откуда \(x_0=0\) — простыми словами

Формула вершины:

\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]

У нас \(a=-\frac12\), а \(b=0\) — потому что запись \(-\frac12x^2+5\) можно переписать полностью так:

\[ y=-\frac12x^2+0\cdot x+5 \]

Подставляем:

\[ x_0=-\frac{0}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=0 \]

Ноль, делённый на любое ненулевое число, даёт \(0\).

Есть объяснение ещё проще, без формулы. В функции есть только \(x^2\), но нет просто \(x\). А \(x^2\) и \((-x)^2\) — одно и то же. Например:

\[ x=3:\ y=-\frac12\cdot9+5=0{,}5 \]

\[ x=-3:\ y=-\frac12\cdot9+5=0{,}5 \]

Значения одинаковые. Значит график симметричен относительно \(x=0\), а вершина лежит ровно на оси симметрии. То есть \(x_0=0\).

Откуда \(y_0=5\)

Второе число вершины — это значение функции в этой точке. Подставляем \(x=0\) в формулу:

\[ y(0)=-\frac12\cdot0^2+5=0+5=5 \]

Всё, вершина \((0;5)\).

Почему именно \(5\) — наибольшее. Смотри на формулу:

\[ y=5-\frac12x^2 \]

Квадрат \(x^2\) никогда не бывает отрицательным: он \(0\) или больше. Значит \(\frac12x^2\ge0\), и мы вычитаем из \(5\) что-то неотрицательное. Получается \(5\) или меньше. Самое большое — когда вычитать нечего, то есть при \(x=0\).

Проверка таблицей

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-3\)	\(3\)	\(5\)	\(3\)	\(-3\)

Видно: в столбце с \(x=0\) стоит самое большое \(y=5\), а дальше в обе стороны значения падают одинаково. Это и есть вершина и ветви вниз (потому что \(a=-\frac12<0\)).

Что писать в тетради

\(y=-\frac12x^2+5\), \(a=-\frac12\), \(b=0\), \(c=5\). Ветви вниз. \(x_0=-\frac{b}{2a}=0\), \(y_0=y(0)=5\). Вершина \((0;5)\), ось симметрии \(x=0\). Наибольшее значение \(5\) при \(x=0\).

Стоп, тут путаница в буквах: \(a\) и \(b\) — это разные коэффициенты

Я писал, что в 154(а) \(b=0\), а не \(a=0\). Коэффициент \(a\) там равен \(-\frac12\). Давай разложим по полочкам.

Что такое \(a\), \(b\), \(c\)

Общий вид квадратичной функции:

\[ y=ax^2+bx+c \]

• \(a\) — число при \(x^2\);
• \(b\) — число при \(x\) (при простом \(x\), без степени);
• \(c\) — свободный член, число без \(x\) вообще.

Разбираем 153(а)

\[ y=\frac13x^2-4x+4 \]

коэффициент	что стоит перед ним	чему равен
\(a\)	\(x^2\)	\(\frac13\)
\(b\)	\(x\)	\(-4\)
\(c\)	ничего (свободный)	\(4\)

Здесь есть слагаемое \(-4x\), поэтому \(b=-4\). Именно из-за него вершина уехала в сторону:

\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot\frac13}=6 \]

Разбираем 154(а)

\[ y=-\frac12x^2+5 \]

коэффициент	что стоит перед ним	чему равен
\(a\)	\(x^2\)	\(-\frac12\)
\(b\)	\(x\)	\(0\) — слагаемого с \(x\) нет вообще
\(c\)	ничего	\(5\)

То есть \(a=-\frac12\) (никакого нуля!), а \(b=0\).

Можно записать с нулём, чтобы было видно место:

\[ y=-\frac12x^2+0\cdot x+5 \]

Ноль умножить на \(x\) — будет \(0\), поэтому такое дописывание ничего не меняет, просто показывает, где «сидит» \(b\).

Почему из \(b=0\) следует \(x_0=0\)

\[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot\left(-\frac12\right)}=-\frac{0}{-1}=0 \]

В числителе ноль — значит и вся дробь ноль. \(a\) тут ни при чём: каким бы ни был \(a\) (хоть \(\frac13\), хоть \(-\frac12\), хоть \(100\)), если \(b=0\), вершина окажется на оси \(y\).

Проверка на двух примерах:

• \(y=7x^2+3\) — здесь \(b=0\), вершина при \(x=0\);
• \(y=7x^2-5x+3\) — здесь \(b=-5\), вершина при \(x=\frac{5}{14}\), уже не ноль.

Итог одной строкой

\(a\) — это всегда число при \(x^2\), и оно в 154(а) равно \(-\frac12\). Ноль — это \(b\), коэффициент при \(x\), потому что в формуле \(-\frac12x^2+5\) слагаемого с \(x\) просто нет.

Если смущает, что в 153(а) все три коэффициента «на своих местах», а в 154(а) одного не хватает, — привыкай: в учебнике часто пишут коротко и опускают нулевые слагаемые.

Таблица для 154(а)

Функция:

\[ y=-\frac12x^2+5 \]

Вершина \((0;5)\), ветви вниз, ось симметрии \(x=0\). Значит \(x\) берём парами слева и справа от нуля.

Основная таблица (шаг 2, все \(y\) целые):

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(-3\)	\(3\)	\(5\)	\(3\)	\(-3\)

Подробная таблица (шаг 1, график получится плавнее):

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(0{,}5\)	\(3\)	\(4{,}5\)	\(5\)	\(4{,}5\)	\(3\)	\(0{,}5\)

Как считал каждый столбец

Формула читается так: возвести \(x\) в квадрат → умножить на \(-\frac12\) (то есть взять половину со знаком минус) → прибавить \(5\).

\(x\)	\(x^2\)	\(-\frac12x^2\)	\(+5\)	\(y\)
\(-4\)	\(16\)	\(-8\)	\(5\)	\(-3\)
\(-2\)	\(4\)	\(-2\)	\(5\)	\(3\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(5\)	\(5\)
\(2\)	\(4\)	\(-2\)	\(5\)	\(3\)
\(4\)	\(16\)	\(-8\)	\(5\)	\(-3\)

Для подробной таблицы: \(y(-3)=-\frac12\cdot9+5=-4{,}5+5=0{,}5\); \(y(-1)=-\frac12\cdot1+5=4{,}5\).

Две вещи, на которые смотрят при проверке

1. Симметрия. \(y(-4)=y(4)\), \(y(-2)=y(2)\) — значения на равных расстояниях от \(x=0\) совпадают. Так и должно быть, потому что \((-x)^2=x^2\).
2. Вершина — самая высокая точка. В таблице \(y=5\) — наибольшее значение, все остальные меньше. Это потому, что \(a=-\frac12<0\), ветви вниз.

Порядок построения

1. Ставим вершину \((0;5)\) на оси \(Oy\).
2. Отмечаем пары: \((-2;3)\) и \((2;3)\), затем \((-4;-3)\) и \((4;-3)\).
3. Соединяем плавной кривой, ветви вниз.
4. График пересекает \(Ox\) между \(3\) и \(4\) — это нули \(x=\pm\sqrt{10}\approx\pm3{,}2\).

Если нужна ещё более гладкая кривая, добавь \(x=\pm3{,}5\): \(y=-\frac12\cdot12{,}25+5=-1{,}125\) — значение дробное, но такие точки тоже можно отмечать приближённо.

Коротко

В 156(а):

\[ y=(x-2)(x+4) \]

Вершина получилась \((-1;-9)\). Координату \(x_0=-1\) можно найти тремя способами — все дают одно и то же.

---

Способ 1. Раскрыть скобки и применить формулу

Сначала приводим к общему виду \(y=ax^2+bx+c\):

\[ (x-2)(x+4)=x\cdot x+x\cdot4-2\cdot x-2\cdot4 \]

\[ =x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8 \]

Теперь видно коэффициенты:

коэффициент	при чём стоит	значение
\(a\)	\(x^2\)	\(1\)
\(b\)	\(x\)	\(2\)
\(c\)	свободный	\(-8\)

Формула вершины:

\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]

Подставляем:

\[ x_0=-\frac{2}{2\cdot1}=-\frac{2}{2}=-1 \]

Вторую координату получаем подстановкой \(x_0\) в любую из записей:

\[ y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9 \]

Или по исходной, с множителями:

\[ y_0=(-1-2)(-1+4)=(-3)\cdot3=-9 \]

Вершина \((-1;-9)\).

---

Способ 2. Через нули (самый быстрый здесь)

Нули видны прямо из множителей:

\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]

\[ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \]

Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину. А точки пересечения с осью \(Ox\) лежат на одинаковом расстоянии от этой оси. Значит вершина — ровно посередине между корнями:

\[ x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+(-4)}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \]

Дальше \(y_0\) так же: \(y(-1)=(-3)\cdot3=-9\).

Проверка симметрии по таблице: при \(x=-1\) вершина, а \(x=0\) и \(x=-2\) дают одинаковые \(y=-8\); \(x=1\) и \(x=-3\) дают \(-5\); \(x=2\) и \(x=-4\) дают \(0\). Всё сдвинуто ровно на \(1\) влево — значит ось симметрии \(x=-1\).

Важно: этот способ работает, только когда корни есть и находятся легко (как здесь, из готовых скобок).

---

Способ 3. Выделение квадрата (заодно доказательство, что \(-9\) — минимум)

\[ x^2+2x-8=(x^2+2x+1)-1-8=(x+1)^2-9 \]

Скобка в квадрате неотрицательна, значит \(y\ge-9\), и минимум достигается при \(x=-1\). Отсюда сразу и вершина \((-1;-9)\), и наименьшее значение \(-9\).

---

Где тут легко ошибиться

• Знак \(b\). В разложении получилось \(+2x\), значит \(b=2\), и в формуле \(x_0=-\frac{2}{2}=-1\). Если случайно взять \(b=-2\), получится \(+1\) — неверно.
• Не путать корни с вершиной. Корни \(2\) и \(-4\) — это где график пересекает ось \(Ox\), а вершина посередине: \(-1\). Она не совпадает ни с одним корнем.
• Считать \(y_0\) отдельно. Мало найти \(x_0\) — второе число вершины получается только подстановкой.

Что писать в тетради

\(y=(x-2)(x+4)=x^2+2x-8\), \(a=1\), \(b=2\), \(c=-8\). \(x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1\). \(y_0=y(-1)=(-1-2)(-1+4)=-9\). Вершина \((-1;-9)\), ветви вверх, ось симметрии \(x=-1\).

Да, теперь таблица для 156(а)

\[ y=(x-2)(x+4)=x^2+2x-8 \]

Вершина \((-1;-9)\), ветви вверх, нули \(x=-4\) и \(x=2\). Значит \(x\) берём симметрично вокруг \(-1\) — и удобно сразу захватить оба нуля.

\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(0\)	\(-5\)	\(-8\)	\(-9\)	\(-8\)	\(-5\)	\(0\)

Как считал каждый столбец

Подставляю в \(y=x^2+2x-8\): квадрат → прибавить удвоенный \(x\) → вычесть \(8\).

\(x\)	\(x^2\)	\(2x\)	\(x^2+2x-8\)	\(y\)
\(-4\)	\(16\)	\(-8\)	\(16-8-8\)	\(0\)
\(-3\)	\(9\)	\(-6\)	\(9-6-8\)	\(-5\)
\(-2\)	\(4\)	\(-4\)	\(4-4-8\)	\(-8\)
\(-1\)	\(1\)	\(-2\)	\(1-2-8\)	\(-9\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)	\(0+0-8\)	\(-8\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(1+2-8\)	\(-5\)
\(2\)	\(4\)	\(4\)	\(4+4-8\)	\(0\)

Проверка по скобкам — так даже быстрее, и видно, что нули настоящие:

\[ y(-4)=(-6)\cdot0=0,\quad y(-3)=(-5)\cdot1=-5,\quad y(0)=(-2)\cdot4=-8 \]

\[ y(2)=0\cdot6=0 \]

Совпало с таблицей — значит счёт верный.

Что показывает таблица

• \(y=-9\) в столбце \(x=-1\) — самая низкая точка, это вершина.
• Пары одинаковых значений: \(-4\) и \(2\) дают \(0\); \(-3\) и \(1\) дают \(-5\); \(-2\) и \(0\) дают \(-8\). Каждая пара стоит на равном расстоянии от \(-1\) — это и есть симметрия параболы. Если какая-то пара «разъехалась», ищи ошибку в этом столбце.
• Нули по краям таблицы: график входит в таблицу на \(y=0\) и выходит на \(y=0\) — между этими точками он ниже оси.

Порядок построения

1. Ставим вершину \((-1;-9)\).
2. Отмечаем пары: \((-2;-8)\) и \((0;-8)\), затем \((-3;-5)\) и \((1;-5)\), затем \((-4;0)\) и \((2;0)\).
3. Проводим плавную кривую через них, ветви вверх, у вершины — самое «пологое» место.
4. Подписываем ось симметрии \(x=-1\) и точки пересечения с осями: \((-4;0)\), \((2;0)\), \((0;-8)\).

Если нужен график погуще

Бери \(x\) с шагом \(0{,}5\) вокруг вершины: \(-1{,}5\) и \(-0{,}5\) дадут \(y=-8{,}75\); \(-2{,}5\) и \(0{,}5\) дадут \(y=-6{,}75\). Значения дробные, но точки лягут ровнее. Для тетради обычно хватает целых из основной таблицы.