В первой половине 14 века главным соперником Москвы в борьбе за роль центра объединения Руси являлся город

Краткий ответ: Тверь.

Почему именно Тверь

В первой половине XIV века Москва и Тверь были двумя сильнейшими княжествами Северо-Восточной Руси, и обе претендовали на ярлык на великое княжение Владимирское — то есть на формальное главенство среди русских земель под властью Орды. Их борьба шла с переменным успехом:

• 1304–1305 гг. — после смерти великого князя Андрея Александровича ярлык получил тверской князь Михаил Ярославич, а московский князь Юрий Данилович оспаривал это решение;
• 1317 г. — Юрий Московский сам добился ярлыка, но тверские князья не признали его главенство;
• 1327 г. — в Твери вспыхнуло антиордынское восстание; его подавил московский князь Иван Калита, получив за это ярлык, который после этого в основном закреплялся за московским домом.

Почему остальные варианты не подходят

• Киев — древняя столица, но после разорения 1240 года он утратил былое значение и уже не был реальным центром объединения;
• Львов — центр Галицко-Волынской земли, которая в XIV веке вошла в состав Польши и Литвы, то есть был вне борьбы за северо-восточный центр;
• Смоленск — княжество слабее Москвы и Твери, к тому же в XIV веке оно попало в зависимость от Литвы.

Как проверять себя

Задавай вопрос так: «кто в этот период реально мог соперничать с Москвой в получении ярлыка и в собирании земель?» В XIV веке таким соперником была именно Тверь — отсюда и московско-тверские войны.