Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).

Способ 1. Через дискриминант

Для уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\) дискриминант считают по формуле \(D=b^{2}-4ac\).

Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\):

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\(D>0\), значит корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]

Способ 2. Через теорему Виета (быстрее, если \(a=1\))

Для приведённого уравнения сумма корней равна \(-b\), а произведение — \(c\):

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Значит, корни — \(2\) и \(3\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Принцип: если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет. Когда коэффициент при \(x^{2}\) равен 1, теорема Виета часто позволяет обойтись устным подбором.