решить все задания по алгебре
Сверь числа и знаки с фото.
Подготовка к контрольной работе
Определение: \(\sqrt{a}=b\), если 1) \(b\ge 0\); 2) \(b^2=a\) Если \(a<0\), то \(\sqrt{a}\) не имеет смысла.
Свойства:
- \((\sqrt{a})^2=a\)
- \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\), \(a\ge 0\), \(b\ge 0\)
- \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\), \(a\ge 0\), \(b>0\)
- Если \(a\ge 0\) и \(n\in N\), то \(\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases} a, \text{ если } a\ge 0 \\ -a, \text{ если } a<0 \end{cases}\)
Уравнение \(x^2=a\): \(a>0\) — два корня \(x_1=\sqrt{a}\) и \(x_2=-\sqrt{a}\) \(a=0\) — один корень \(x=\sqrt{0}=0\) \(a<0\) — корней нет
Функция \(y=\sqrt{x}\) график — ветвь параболы, расположенная в I четверти \(y=-\sqrt{x}\) — в IV четверти
[Таблица: \(y=\sqrt{x}\): x: 0, 1, 4, 9; y: 0, 1, 2, 3] [Таблица: \(y=-\sqrt{x}\): x: 0, 1, 4, 9; y: 0, −1, −2, −3]
Задание:
- Постройте график функции \(y=\sqrt{x}\) и [обрезано]
Коротко
На фото — конспект по теме «Квадратные корни» и только начало списка заданий: «1. Постройте график функции \(y=\sqrt{x}\) и …». Дальше кадр обрезан — заданий 2, 3 и следующих не видно, поэтому «решить все задания» по этому снимку нельзя. Ниже — задание 1 полностью и разбор теории, чтобы остальные номера ты смог сделать сам.
Задание 1. График \(y=\sqrt{x}\)
Таблица точек (берём \(x\) — полные квадраты, так корень считается устно):
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \]
График — правая ветвь параболы \(x=y^{2}\) при \(y\ge 0\): выходит из точки \((0;0)\) и идёт вправо-вверх, постепенно «ложась» к оси \(Ox\). Лежит целиком в I четверти.
Свойства:
- Область определения: \(x\in[0;+\infty)\) — подкоренное не может быть отрицательным.
- Область значений: \(y\in[0;+\infty)\) — корень не бывает отрицательным.
- \(y=0\) только при \(x=0\); при \(x>0\) получаем \(y>0\).
- Функция возрастает на всей области определения.
- Наименьшее значение \(y=0\) при \(x=0\), наибольшего нет.
- Проходит через точки \((0;0)\), \((1;1)\), \((4;2)\), \((9;3)\).
Если в задании просят ещё и \(y=-\sqrt{x}\): таблица \(x:0,1,4,9\), \(y:0,-1,-2,-3\); это та же ветвь, симметричная первой относительно оси \(Ox\), лежит в IV четверти, убывает, наибольшее значение \(0\) при \(x=0\).
Почему так — принцип
- \(\sqrt{a}\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). Отсюда сразу два ограничения: \(a\ge 0\) (иначе корня нет) и сам ответ \(\ge 0\).
- Поэтому точки графика удобно брать «от \(y\)»: задал \(y=2\) — получил \(x=4\). Обратный ход (от \(x\)) требует калькулятора.
- В конспекте определение записано небрежно. Надёжная формулировка: \(\sqrt{a}=b\) тогда и только тогда, когда \(b\ge 0\) и \(b^{2}=a\). Обрати внимание: без условия \(b\ge 0\) равенство неверно, ведь \((-3)^{2}=9\), но \(\sqrt{9}=3\), а не \(-3\).
- Отсюда же главная ловушка: \(\sqrt{a^{2}}=|a|\), а не \(a\). Проверка: \(\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7=|-7|\).
- Свойства 2 и 3 работают только при \(a\ge 0\), \(b\ge 0\) (для дроби \(b>0\)): \(\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6=3\cdot 2\). А вот \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}\): \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\), но \(\sqrt{25}=5\).
- Уравнение \(x^{2}=a\): при \(a>0\) два корня \(x=\pm\sqrt{a}\); при \(a=0\) один \(x=0\); при \(a<0\) корней нет — квадрат не бывает отрицательным.
Проверка: \(4^{2}=16\ge 0\), значит \(\sqrt{16}=4\); точка \((4;2)\) лежит на \(y=\sqrt{x}\), так как \(2^{2}=4\). Всё сходится.
Чтобы я решил остальные номера, пришли фото листа ниже надписи «Задание» — там, где видны пункты 2, 3 и далее.
