Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю. 1 Приведите дроби к новому знаменателю.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю
1 Приведите дроби к новому знаменателю.
- \(\frac{3}{4} = \frac{3\cdot 2}{4\cdot 2} = \frac{6}{8}\)
- \(\frac{1}{5} = \frac{1\cdot \square}{5\cdot \square} = \frac{\square}{30}\)
- \(\frac{7}{8} = \frac{7\cdot \square}{8\cdot \square} = \frac{\square}{48}\)
- \(\frac{6}{7} = \frac{6\cdot \square}{7\cdot \square} = \frac{\square}{21}\)
- \(\frac{1}{6} = \frac{1\cdot \square}{6\cdot \square} = \frac{\square}{48}\)
- \(\frac{9}{11} = \frac{9\cdot \square}{11\cdot \square} = \frac{\square}{55}\)
2 Выберите верный ответ. Наименьший общий знаменатель – это:
- наибольший общий делитель знаменателей;
- наименьшее общее кратное знаменателей.
3 Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю.
- \(\frac{3}{8}\) и \(\frac{5}{14}\) \(\frac{3}{8} = \frac{3\cdot 7}{8\cdot 7} = \frac{21}{56}\); \(\frac{5}{14} = \frac{5\cdot 4}{14\cdot 4} = \frac{20}{56}\)
- \(\frac{4}{15}\) и \(\frac{5}{2}\)[обрезано]
Ответ
Задание 1. Приведение к новому знаменателю:
\(\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}\) — уже вписано;
\(\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 6}{5\cdot 6}=\frac{6}{30}\);
\(\frac{7}{8}=\frac{7\cdot 6}{8\cdot 6}=\frac{42}{48}\);
\(\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{18}{21}\);
\(\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 8}{6\cdot 8}=\frac{8}{48}\);
\(\frac{9}{11}=\frac{9\cdot 5}{11\cdot 5}=\frac{45}{55}\).
Задание 2. Верный ответ — 2) наименьшее общее кратное знаменателей.
Задание 3. Приведение к наименьшему общему знаменателю:
\(\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{21}{56}\), \(\frac{5}{14}=\frac{5\cdot 4}{14\cdot 4}=\frac{20}{56}\);
\(\frac{4}{15}=\frac{4\cdot 7}{15\cdot 7}=\frac{28}{105}\), \(\frac{5}{21}=\frac{5\cdot 5}{21\cdot 5}=\frac{25}{105}\).
Почему так
- Работает основное свойство дроби: если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число (не 0), значение дроби не меняется. Поэтому достаточно найти множитель \(k=\dfrac{\text{новый знаменатель}}{\text{старый знаменатель}}\) и умножить на него обе части дроби.
- В задании 1 новые знаменатели даны, множители такие: \(30:5=6\), \(48:8=6\), \(21:7=3\), \(48:6=8\), \(55:11=5\).
- В задании 3 сначала ищем НОК через простые множители: \(8=2^3\), \(14=2\cdot 7\), значит НОК \(=2^3\cdot 7=56\). Аналогично \(15=3\cdot 5\), \(21=3\cdot 7\), НОК \(=3\cdot 5\cdot 7=105\). Каждый простой множитель берём в наибольшей степени.
- В задании 2: общий знаменатель должен делиться на каждый знаменатель, то есть быть их общим кратным; наименьшее такое число — НОК. А НОД делит знаменатели, но сам на них не делится, поэтому общим знаменателем в общем случае не является.
Проверка. Сокращаю обратно: \(\frac{42}{48}=\frac{7}{8}\) (на 6), \(\frac{18}{21}=\frac{6}{7}\) (на 3), \(\frac{8}{48}=\frac{1}{6}\) (на 8), \(\frac{45}{55}=\frac{9}{11}\) (на 5), \(\frac{21}{56}=\frac{3}{8}\) (на 7), \(\frac{20}{56}=\frac{5}{14}\) (на 4), \(\frac{28}{105}=\frac{4}{15}\) (на 7), \(\frac{25}{105}=\frac{5}{21}\) (на 5) — всё сходится.
Небольшое уточнение: во второй паре из задания 3 последняя цифра знаменателя упирается в край кадра, я прочитал её как 1, то есть \(\frac{5}{21}\). Если там другая цифра, способ тот же — НОК(15, этот знаменатель), просто пришли фрагмент пошире, и я пересчитаю.
Обсуждение
7 сообщенийРешение — продолжение той же страницы. Отлично, что прислали более полный кадр: здесь видны все 6 примеров из задания 3 и таблица из задания 4.
Задание 3. Приведение к наименьшему общему знаменателю
\(\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{21}{56}\), \(\frac{5}{14}=\frac{5\cdot 4}{14\cdot 4}=\frac{20}{56}\) (НОК(8, 14) = 56)
\(\frac{4}{15}=\frac{4\cdot 7}{15\cdot 7}=\frac{28}{105}\), \(\frac{5}{21}=\frac{5\cdot 5}{21\cdot 5}=\frac{25}{105}\) (НОК(15, 21) = 105)
\(\frac{7}{18}=\frac{7\cdot 4}{18\cdot 4}=\frac{28}{72}\), \(\frac{5}{24}=\frac{5\cdot 3}{24\cdot 3}=\frac{15}{72}\) (НОК(18, 24) = 72)
\(\frac{8}{27}=\frac{8\cdot 7}{27\cdot 7}=\frac{56}{189}\), \(\frac{5}{21}=\frac{5\cdot 9}{21\cdot 9}=\frac{45}{189}\) (НОК(27, 21) = 189)
\(\frac{7}{15}=\frac{7\cdot 11}{15\cdot 11}=\frac{77}{165}\), \(\frac{7}{55}=\frac{7\cdot 3}{55\cdot 3}=\frac{21}{165}\) (НОК(15, 55) = 165)
\(\frac{13}{28}=\frac{13\cdot 5}{28\cdot 5}=\frac{65}{140}\), \(\frac{11}{35}=\frac{11\cdot 4}{35\cdot 4}=\frac{44}{140}\) (НОК(28, 35) = 140)
Задание 4. Таблица НОД и НОК
| \(a\) | \(b\) | НОД(\(a, b\)) | НОК(\(a, b\)) |
|---|---|---|---|
| 2 | 14 | 2 | 14 |
| 3 | 6 | 3 | 6 |
| 4 | 8 | 4 | 8 |
| 6 | 9 | 3 | 18 |
| 8 | 18 | 2 | 72 |
| 11 | 33 | 11 | 33 |
| 15 | 45 | 15 | 45 |
Как быстро посчитать:
- Если одно число делится на другое, то НОД — это меньшее число, а НОК — большее. Так устроены пары (2, 14), (3, 6), (4, 8), (11, 33), (15, 45).
- Для остальных раскладываем на простые множители:
- 6 и 9: \(6=2\cdot 3\), \(9=3^2\). Общий множитель только \(3\) — это НОД. Берём все простые в наибольшей степени: \(2\cdot 3^2=18\) — это НОК.
- 8 и 18: \(8=2^3\), \(18=2\cdot 3^2\). Общий множитель \(2\) — НОД. НОК \(=2^3\cdot 3^2=72\).
Проверка: работает правило \(НОД(a,b)\cdot НОК(a,b)=a\cdot b\). Для 8 и 18: \(2\cdot 72=144=8\cdot 18\) — верно. Теперь вы справитесь с похожими примерами сами: ищите общие простые множители для НОД и добавляйте недостающие для НОК.
Это продолжение текущей задачи: на фото та же страница 21 — задание 4 и пункты 4–6 задания 3.
Исправление по заданию 3, пункт 4
В прошлом ответе я прочитал числитель как 8, но на фото видно \(\frac{4}{27}\). Правильно:
\[ \frac{4}{27}=\frac{4\cdot7}{27\cdot7}=\frac{28}{189},\qquad \frac{5}{21}=\frac{5\cdot9}{21\cdot9}=\frac{45}{189}. \]
Твои записи на фото для пунктов 4–6 верны. Пункты 5–6 для полноты:
\[ \frac{7}{15}=\frac{77}{165},\quad \frac{7}{55}=\frac{21}{165};\qquad \frac{13}{28}=\frac{65}{140},\quad \frac{11}{35}=\frac{44}{140}. \]
Пункты 1–3 в этот кадр не попали, но решаются тем же способом — через НОК знаменателей.
Задание 4. Таблица
| \(a\) | \(b\) | НОД \((a,b)\) | НОК \((a,b)\) |
|---|---|---|---|
| 2 | 14 | 2 | 14 |
| 3 | 6 | 3 | 6 |
| 4 | 8 | 4 | 8 |
| 6 | 9 | 3 | 18 |
| 8 | 18 | 2 | 72 |
| 11 | 33 | 11 | 33 |
| 15 | 45 | 15 | 45 |
Как считал
- Если одно число делится на другое, то НОД — меньшее число, а НОК — большее. Это пары \((2,14)\), \((3,6)\), \((4,8)\), \((11,33)\), \((15,45)\).
- \(6=2\cdot3\), \(9=3^2\): общий множитель только \(3\), поэтому НОД \(=3\). Для НОК берём все простые в наибольшей степени: \(2\cdot3^2=18\).
- \(8=2^3\), \(18=2\cdot3^2\): НОД \(=2\), НОК \(=2^3\cdot3^2=72\).
Проверка: \(\text{НОД}\cdot\text{НОК}=a\cdot b\). Для 6 и 9: \(3\cdot18=54=6\cdot9\); для 8 и 18: \(2\cdot72=144=8\cdot18\). Всё сходится.
Это продолжение той же темы: снова приведение дробей к общему знаменателю, только теперь нужно ещё и сложить. Ниже — решения заданий 5 и 6.
Задание 5. Привести к наименьшему общему знаменателю и найти сумму
\(\frac{7}{18}+\frac{2}{9}=\frac{7}{18}+\frac{2\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{7}{18}+\frac{4}{18}=\frac{11}{18}\)
\(\frac{14}{33}+\frac{11}{18}=\frac{14\cdot 6}{33\cdot 6}+\frac{11\cdot 11}{18\cdot 11}=\frac{84}{198}+\frac{121}{198}=\frac{205}{198}=1\frac{7}{198}\)
\(\frac{5}{24}+\frac{9}{16}=\frac{5\cdot 2}{24\cdot 2}+\frac{9\cdot 3}{16\cdot 3}=\frac{10}{48}+\frac{27}{48}=\frac{37}{48}\)
\(\frac{13}{48}+\frac{7}{30}=\frac{13\cdot 5}{48\cdot 5}+\frac{7\cdot 8}{30\cdot 8}=\frac{65}{240}+\frac{56}{240}=\frac{121}{240}\)
\(\frac{11}{27}+\frac{13}{24}=\frac{11\cdot 8}{27\cdot 8}+\frac{13\cdot 9}{24\cdot 9}=\frac{88}{216}+\frac{117}{216}=\frac{205}{216}\)
\(\frac{7}{36}+\frac{17}{54}=\frac{7\cdot 3}{36\cdot 3}+\frac{17\cdot 2}{54\cdot 2}=\frac{21}{108}+\frac{34}{108}=\frac{55}{108}\)
Как находились знаменатели: \(\text{НОК}(18,9)=18\), \(\text{НОК}(33,18)=198\), \(\text{НОК}(24,16)=48\), \(\text{НОК}(48,30)=240\), \(\text{НОК}(27,24)=216\), \(\text{НОК}(36,54)=108\). Дополнительный множитель — это частное нового знаменателя и старого.
Задание 6. Пять чисел, кратных и 13, и 6
Число должно делиться и на 13, и на 6. Так как \(\text{НОД}(13,6)=1\), то \(\text{НОК}(13,6)=13\cdot 6=78\).
Ответ: \(78,\ 156,\ 234,\ 312,\ 390\) (это \(78\cdot 1,\ 78\cdot 2,\dots, 78\cdot 5\); подойдёт любой набор из пяти кратных 78).
Проверка
- Дроби уже несократимы: \(205=5\cdot 41\) не имеет общих множителей с \(198=2\cdot 3^2\cdot 11\), \(121=11^2\) — с \(240\), \(205\) — с \(216\), \(55=5\cdot 11\) — с \(108\).
- Неправильную дробь \(\frac{205}{198}\) перевёл в смешанную: \(205=198+7\), поэтому \(1\frac{7}{198}\).
- Прикидка по значениям: \(\frac{14}{33}+\frac{11}{18}\approx 0{,}424+0{,}611=1{,}035\), и \(\frac{205}{198}\approx 1{,}035\) — сходится; \(\frac{11}{27}+\frac{13}{24}\approx 0{,}407+0{,}542=0{,}949\), и \(\frac{205}{216}\approx 0{,}949\) — тоже.
Главное правило то же: общий знаменатель — это НОК, числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на один и тот же дополнительный множитель, а потом складываем числители.
