Пример 6. Выпишите все подмножества данного множества: а) A={-1; 0; 1}; б) B={0; 1; 2}.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Пример 6. Выпишите все подмножества данного множества:
а) \(A=\{-1; 0; 1\}\);
б) \(B=\{0; 1; 2\}\).
Пример 7. Какие из следующих включений верны:
а) \(Z \subset R, Z \subset N, Z \subset Q\);
б) \(R \subset Q, N \subset Q, Q \subset R\)?
Пример 8. Изобразите на числовой прямой множество всех действительных чисел, которые удовлетворяют неравенству:
а) \(3 \le a < 5\);
б) \(2 < b \le 6\);
в) \(1 \le c\)
На фото три примера — 6, 7 и 8. Строка над ними — фрагмент предыдущего задания; его начала не видно, поэтому решаю примеры 6–8.
Краткий ответ
Пример 6.
Для \(A=\{-1;0;1\}\): \[ \varnothing,\ \{-1\},\ \{0\},\ \{1\},\ \{-1;0\},\ \{-1;1\},\ \{0;1\},\ \{-1;0;1\}. \]
Для \(B=\{0;1;2\}\): \[ \varnothing,\ \{0\},\ \{1\},\ \{2\},\ \{0;1\},\ \{0;2\},\ \{1;2\},\ \{0;1;2\}. \]
Пример 7.
а) Верны \(Z\subset R\) и \(Z\subset Q\); неверно \(Z\subset N\).
б) Верны \(N\subset Q\) и \(Q\subset R\); неверно \(R\subset Q\).
Пример 8.
а) \([3;5)\);
б) \((2;6]\);
в) \([1;+\infty)\).
Почему так
1. Подмножества
Подмножество — это любая часть множества. В стандартном определении в число подмножеств включают пустое множество \(\varnothing\) и само множество.
У каждого из трёх элементов есть два варианта: войти в подмножество или не войти. Поэтому всего: \[ 2^3=8 \] подмножеств.
Чтобы ничего не пропустить, удобно перебирать по числу элементов: 0, 1, 2, 3.
2. Включения множеств
Полезно помнить цепочку числовых множеств: \[ \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R. \] Если двигаться по ней слева направо, включение верно. Обратное включение, как правило, неверно.
Например:
- \(-1\in\mathbb Z\), но \(-1\notin\mathbb N\), поэтому \(Z\subset N\) ложно;
- \(\sqrt2\in\mathbb R\), но \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), поэтому \(R\subset Q\) ложно.
3. Числовая прямая
Квадратная скобка означает, что точка закрашена и число входит в множество. Круглая скобка — точка выколота, число не входит.
| Пункт | Неравенство | Множество | Как рисовать |
|---|---|---|---|
| а) | \(3\le a<5\) | \([3;5)\) | \(3\) — закрашенная точка, \(5\) — выколотая, штриховка между ними |
| б) | \(2<b\le6\) | \((2;6]\) | \(2\) — выколотая, \(6\) — закрашенная, штриховка между ними |
| в) | \(1\le c\) | \([1;+\infty)\) | \(1\) — закрашенная, штриховка вправо |
Проверка
- В каждом списке примера 6 ровно 8 множеств; все они состоят из элементов исходного множества, повторяющихся нет.
- В примере 7 включения \(Z\subset R\), \(Z\subset Q\), \(N\subset Q\), \(Q\subset R\) согласуются с цепочкой \(\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\). Два оставшихся включения ей противоречат.
- В примере 8 границы учтены верно: в а) \(3\) входит, \(5\) нет; в б) \(2\) не входит, \(6\) входит; в в) \(1\) входит, а справа множество не ограничено.
