Геометрия Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.…

В целом всё написано верно — учить можно. Три места, которые на зачёте стоит уточнить:

1. Аксиома 3 — добавь концовку: плоскости пересекаются по прямой, и притом только по одной.
2. Теорема синусов — словесной формулировки мало, нужна формула: \[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \]
3. Теорема косинусов — тоже нужна формула: \[ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C \]

И то, чего у тебя нет, но часто спрашивают:

• синус и косинус тупого угла: \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\) (поэтому теоремы синусов и косинусов верны для любого треугольника, а не только для остроугольного);
• основное тождество: \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\);
• биссектриса в треугольнике — это отрезок, и она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\).

Тупой угол — угол, градусная мера которого больше \(90^\circ\) и меньше \(180^\circ\).

Коротко для зачёта, вместе с остальными:

• острый — меньше \(90^\circ\);
• прямой — равен \(90^\circ\);
• тупой — больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\);
• развёрнутый — равен \(180^\circ\).

Полезно помнить: в треугольнике тупой угол может быть только один (сумма углов \(180^\circ\)), а синус тупого угла положителен: \(\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\).

Перпендикуляр — это отрезок прямой, проведённый к данной прямой (или плоскости) под прямым углом, то есть под углом \(90^\circ\).

Уточнения для зачёта:

• Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом; обозначают \(a \perp b\).
• Перпендикуляр из точки к прямой — отрезок от этой точки до прямой, перпендикулярный ей; его длина — это расстояние от точки до прямой (оно наименьшее из всех расстояний).
• Отсюда твоё определение: высота треугольника — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону (или к её продолжению).

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны: \[ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k \] Число \(k\) — коэффициент подобия.

Свойства:

• отношение периметров подобных треугольников равно \(k\);
• отношение площадей равно \(k^2\): \(\dfrac{S}{S_1}=k^{2}\);
• отношение высот, медиан, биссектрис, проведённых к соответствующим сторонам, тоже равно \(k\).

Признаки подобия:

1. Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.
2. Две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны.
3. Три стороны одного пропорциональны трём сторонам другого.

Часто спрашивают ещё:

• средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине; отсекаемый ею треугольник подобен исходному с \(k=\frac{1}{2}\);
• для прямоугольных треугольников достаточно равенства одного острого угла.

Для зачёта хватит определения с формулой \(k\), трёх признаков и связи площадей \(S_2=k^2S_1\).

Да, так и говори — но на зачёте лучше начать с определения, а свойства перечислить коротко, по одному предложению.

Как отвечать вслух:

«Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия \(k\) — это отношение соответствующих сторон.

Свойства: отношение периметров равно \(k\), отношение площадей равно \(k^{2}\), а отношение высот, медиан и биссектрис, проведённых к соответствующим сторонам, тоже равно \(k\).»

Если спросят «почему площади относятся как \(k^2\)» — скажи: «Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к ней; обе величины при подобии увеличиваются в \(k\) раз, значит площадь — в \(k\cdot k=k^{2}\) раз».

Этого достаточно: определение, \(k\), три отношения и одна фраза-обоснование.

Вот полный ответ целиком — можно рассказывать подряд:

«Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны: \[ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k \] где \(k\) — коэффициент подобия.

Свойства: отношение периметров равно \(k\), отношение площадей равно \(k^{2}\), отношение высот, медиан и биссектрис, проведённых к соответствующим сторонам, тоже равно \(k\).

Признаки подобия:

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.»

Если попросят обосновать \(k^2\) — добавь: «Площадь равна половине произведения стороны на высоту; обе величины растут в \(k\) раз, значит площадь — в \(k^{2}\)».

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой противоположной стороны.

Свойство (для зачёта): биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: \[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC} \] где \(AD\) — биссектриса из вершины \(A\), \(D \in BC\).

Полезно добавить: все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности, и она равноудалена от всех сторон треугольника.