2.137 реши пожалуйста всё в тетради кобудто я делал с НОД
Сверь числа и знаки с фото.
2.137 Сократите дробь: а) \(\frac{120}{224}\); б) \(\frac{264}{1540}\); в) \(\frac{4050}{486}\); г) \(\frac{4455}{4725}\).
Краткий ответ: а) \(\frac{15}{28}\); б) \(\frac{6}{35}\); в) \(\frac{25}{3}\) (или \(8\frac{1}{3}\)); г) \(\frac{33}{35}\).
Решение через НОД
Правило: \[ \frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\qquad d=\mathrm{НОД}(a;b). \] НОД — наибольшее число, на которое делятся и числитель, и знаменатель. После деления на НОД дробь уже не сокращается.
а)
\[
120=2^3\cdot3\cdot5,\qquad 224=2^5\cdot7,
\]
\[
\mathrm{НОД}(120;224)=2^3=8.
\]
\[
\frac{120}{224}=\frac{120:8}{224:8}=\frac{15}{28}.
\]
б)
\[
264=2^3\cdot3\cdot11,\qquad 1540=2^2\cdot5\cdot7\cdot11,
\]
\[
\mathrm{НОД}(264;1540)=2^2\cdot11=44.
\]
\[
\frac{264}{1540}=\frac{264:44}{1540:44}=\frac{6}{35}.
\]
в)
\[
4050=2\cdot3^4\cdot5^2,\qquad 486=2\cdot3^5,
\]
\[
\mathrm{НОД}(4050;486)=2\cdot3^4=162.
\]
\[
\frac{4050}{486}=\frac{4050:162}{486:162}=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}.
\]
г)
\[
4455=3^4\cdot5\cdot11,\qquad 4725=3^3\cdot5^2\cdot7,
\]
\[
\mathrm{НОД}(4455;4725)=3^3\cdot5=135.
\]
\[
\frac{4455}{4725}=\frac{4455:135}{4725:135}=\frac{33}{35}.
\]
Проверка: у пар \(15\) и \(28\), \(6\) и \(35\), \(25\) и \(3\), \(33\) и \(35\) нет общих делителей, кроме \(1\). Значит, все дроби сокращены до конца.
Обсуждение
2 сообщенияАло в столбик
Понял: НОД ищем в столбик — делением с остатком (алгоритм Евклида), потом в столбик делим числитель и знаменатель на НОД. Всё это можно переписать в тетрадь как есть.
а) \(\frac{120}{224}\)
НОД в столбик: \[ \begin{aligned} 224 &\div 120 = 1 \ (\text{ост. } 104)\\ 120 &\div 104 = 1 \ (\text{ост. } 16)\\ 104 &\div 16 = 6 \ (\text{ост. } 8)\\ 16 &\div 8 = 2 \ (\text{ост. } 0) \end{aligned} \] Последний ненулевой остаток — это НОД: \(\mathrm{НОД}=8\).
Делим в столбик: \[ \begin{aligned} 120 &\div 8 = 15\\ 224 &\div 8 = 28 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{120}{224}=\frac{15}{28}. \]
б) \(\frac{264}{1540}\)
\[ \begin{aligned} 1540 &\div 264 = 5 \ (\text{ост. } 220)\\ 264 &\div 220 = 1 \ (\text{ост. } 44)\\ 220 &\div 44 = 5 \ (\text{ост. } 0) \end{aligned} \] \(\mathrm{НОД}=44\). \[ \begin{aligned} 264 &\div 44 = 6\\ 1540 &\div 44 = 35 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{264}{1540}=\frac{6}{35}. \]
в) \(\frac{4050}{486}\)
\[ \begin{aligned} 4050 &\div 486 = 8 \ (\text{ост. } 162)\\ 486 &\div 162 = 3 \ (\text{ост. } 0) \end{aligned} \] \(\mathrm{НОД}=162\). \[ \begin{aligned} 4050 &\div 162 = 25 &&(162\cdot25=4050)\\ 486 &\div 162 = 3 \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{4050}{486}=\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}. \]
г) \(\frac{4455}{4725}\)
\[ \begin{aligned} 4725 &\div 4455 = 1 \ (\text{ост. } 270)\\ 4455 &\div 270 = 16 \ (\text{ост. } 135)\\ 270 &\div 135 = 2 \ (\text{ост. } 0) \end{aligned} \] \(\mathrm{НОД}=135\). \[ \begin{aligned} 4455 &\div 135 = 33 &&(135\cdot33=4455)\\ 4725 &\div 135 = 35 &&(135\cdot35=4725) \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{4455}{4725}=\frac{33}{35}. \]
Ответ: а) \(\frac{15}{28}\); б) \(\frac{6}{35}\); в) \(\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\); г) \(\frac{33}{35}\).
Схема записи в тетради для каждой дроби одна: слева столбик делений с остатком \(\to\) находим НОД (последний ненулевой остаток) \(\to\) справа два деления числителя и знаменателя на НОД.
