166. Последовательность задана формулой aₙ = n² − 2n − 6. Является ли членом этой последовательности число: 1) −3; 2) 2; 3) 3; 4) 9?

Краткий ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да.

Почему так. Номер члена последовательности \(n\) — натуральное число: \(n=1,2,3,\ldots\). Поэтому число \(c\) является членом последовательности, только если уравнение

\[ n^2-2n-6=c \]

имеет натуральный корень. Этот корень и будет номером члена.

1. \(c=-3\): \[ n^2-2n-6=-3 \Rightarrow n^2-2n-3=0 \Rightarrow (n-3)(n+1)=0. \] Натуральный корень \(n=3\), значит \(-3\) — член последовательности.

2. \(c=2\): \[ n^2-2n-6=2 \Rightarrow n^2-2n-8=0 \Rightarrow (n-4)(n+2)=0. \] Натуральный корень \(n=4\), значит \(2\) — член последовательности.

3. \(c=3\): \[ n^2-2n-6=3 \Rightarrow n^2-2n-9=0. \] Корни \(n=1\pm\sqrt{10}\) не являются натуральными числами, поэтому \(3\) не является членом последовательности.

4. \(c=9\): \[ n^2-2n-6=9 \Rightarrow n^2-2n-15=0 \Rightarrow (n-5)(n+3)=0. \] Натуральный корень \(n=5\), значит \(9\) — член последовательности.

Проверка подстановкой: \[ a_3=9-6-6=-3,\qquad a_4=16-8-6=2,\qquad a_5=25-10-6=9. \]