Вариант 4 № 1 Найдите разность матриц А- В, если

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 4

№ 1 Найдите разность матриц А- В, если
$A=\begin{pmatrix}-3 & 3 & -1\ 2 & 0 & 4\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2 & -1 & -4\ 3 & 0 & 3\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$

№ 2 Найдите линейную комбинацию матриц 2А-4В, если
$A=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1\ 2 & -5 & 7\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1 & -2 & -1\ 5 & 4 & 5\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}$

№ 3 Найдите произведение матриц А и В, если
$A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1\ 0 & 4 & 2\end{pmatrix}$ и $B=\begin{pmatrix}0 & 3\ 1 & 3\ -2 & 1\end{pmatrix}$.

Answer

Краткий ответ

№ 1.
$$
A-B=\begin{pmatrix}-5&4&3\-1&0&1\-1&0&-1\end{pmatrix}
$$

№ 2.
$$
2A-4B=\begin{pmatrix}-2&14&6\-16&-26&-6\-8&-2&6\end{pmatrix}
$$

№ 3.
$$
AB=\begin{pmatrix}1&16\0&14\end{pmatrix}
$$

Как это устроено

№ 1. Разность матриц — поэлементно. Складывать и вычитать можно только матрицы одинакового размера: обе здесь $3\times3$, значит $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$.
$$
\begin{pmatrix}-3-2 & 3-(-1) & -1-(-4)\ 2-3 & 0-0 & 4-3\ 1-2 & 1-1 & 3-4\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-5&4&3\-1&0&1\-1&0&-1\end{pmatrix}
$$
Главная ловушка — двойной минус: $3-(-1)=4$, а не $2$.

№ 2. Линейная комбинация = умножение на число + вычитание. Сначала умножаем каждый элемент на свой коэффициент:
$$
2A=\begin{pmatrix}2&6&2\4&-10&14\0&2&6\end{pmatrix},\qquad
4B=\begin{pmatrix}4&-8&-4\20&16&20\8&4&0\end{pmatrix}.
$$
Затем вычитаем поэлементно:
$$
2A-4B=\begin{pmatrix}2-4&6-(-8)&2-(-4)\4-20&-10-16&14-20\0-8&2-4&6-0\end{pmatrix}.
$$

№ 3. Произведение — «строка на столбец». Проверяем размеры: $A$ имеет $2\times3$, $B$ имеет $3\times2$. Число столбцов $A$ равно числу строк $B$, поэтому произведение существует и будет размером $2\times2$. Элемент $c_{ij}$ — это сумма произведений элементов $i$-й строки $A$ на соответствующие элементы $j$-го столбца $B$:
$$
c_{11}=2\cdot0+3\cdot1+1\cdot(-2)=1,
$$
$$
c_{12}=2\cdot3+3\cdot3+1\cdot1=16,
$$
$$
c_{21}=0\cdot0+4\cdot1+2\cdot(-2)=0,
$$
$$
c_{22}=0\cdot3+4\cdot3+2\cdot1=14.
$$

Проверка. В № 3 у каждого элемента ровно три слагаемых (по длине общей стороны $3$), а результат квадратный $2\times2$ — это совпадает с ожидаемым. В № 1 и № 2 удобно проверять себя по столбцам: например, во втором столбце № 1 все разности дают $4, 0, 0$ — так и получилось.