1. Два наблюдателя A и B находятся на расстоянии 100 м друг от друга. Они видят башню C под углами: наблюдатель A — 70°, наблюдатель B — 50° (углы отрезка AB).
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1
Два наблюдателя A и B находятся на расстоянии 100 м друг от друга. Они видят башню C под углами: наблюдатель A — 70°, наблюдатель B — 50° (углы отрезка AB). Найдите расстояние от наблюдателя A до башни.
Два самолёта вылетели из одного аэропорта одновременно. Первый летит со скоростью 600 км/ч по курсу 45°, второй — со скоростью 800 км/ч по курсу 135°. Какое расстояние будет между ними через 1,5 часа?
Кратко:
- \(AC \approx 88{,}5\) м (примерно \(88\) м).
- \(1500\) км.
1. Расстояние до башни
Пусть \(C\) — башня, а \(A\) и \(B\) — наблюдатели. Тогда \[ AB=100\ \text{м},\qquad \angle A=70^\circ,\qquad \angle B=50^\circ. \]
Сумма углов треугольника: \[ \angle C=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ. \]
По теореме синусов сторона \(AC\) лежит против угла \(B\), а \(AB\) — против угла \(C\): \[ \frac{AC}{\sin 50^\circ}=\frac{AB}{\sin 60^\circ}. \]
Значит, \[ AC=\frac{100\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{100\cdot 0{,}7660}{0{,}8660} \approx 88{,}5\ \text{м}. \]
Ответ: примерно \(88{,}5\) м, то есть около \(88\) м.
Проверка: угол \(50^\circ<60^\circ\), поэтому сторона \(AC<AB\): \(88{,}5<100\). Всё согласуется.
2. Расстояние между самолётами
За \(1{,}5\) часа самолёты пролетят:
\[ s_1=600\cdot1{,}5=900\ \text{км}, \] \[ s_2=800\cdot1{,}5=1200\ \text{км}. \]
Курсы отличаются на \[ 135^\circ-45^\circ=90^\circ. \]
Значит, получился прямоугольный треугольник, и расстояние \(d\) между самолётами — гипотенуза: \[ d=\sqrt{900^2+1200^2}. \] \[ d=\sqrt{810\,000+1\,440\,000} =\sqrt{2\,250\,000}=1500\ \text{км}. \]
Ответ: \(1500\) км.
Проверка: \(900:1200=3:4\), значит треугольник подобен египетскому \(3:4:5\), и гипотенуза равна \(5\cdot300=1500\) км.
Главная идея: при известных углах и стороне удобно применять теорему синусов, а когда известны две стороны и угол между ними — теорему косинусов. Если угол прямой, она превращается в теорему Пифагора.
Обсуждение
4 сообщенияВариант 1
1. Расстояние от наблюдателя \(A\) до башни
Обозначим наблюдателей точками \(A\) и \(B\), башню — точкой \(C\). Тогда:
\[ AB=100\ \text{м},\qquad \angle A=70^\circ,\qquad \angle B=50^\circ \]
Сумма углов треугольника:
\[ \angle C=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ \]
По теореме синусов:
\[ \frac{AC}{\sin 50^\circ}=\frac{AB}{\sin 60^\circ} \]
Значит,
\[ AC=100\cdot \frac{\sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \]
\[ AC\approx 100\cdot \frac{0{,}7660}{0{,}8660}\approx 88{,}5\ \text{м} \]
Ответ: примерно \(88{,}5\) м, то есть около \(89\) м.
2. Расстояние между самолётами
Курсы самолётов отличаются на:
\[ 135^\circ-45^\circ=90^\circ \]
Значит, их траектории перпендикулярны.
За \(1{,}5\) часа первый самолёт пролетит:
\[ 600\cdot 1{,}5=900\ \text{км} \]
Второй самолёт пролетит:
\[ 800\cdot 1{,}5=1200\ \text{км} \]
Расстояние между ними находим по теореме Пифагора:
\[ d=\sqrt{900^2+1200^2} \]
\[ d=\sqrt{810000+1440000}=\sqrt{2250000}=1500\ \text{км} \]
Ответ: \(1500\) км.
создай чертеж к задачам
Подготовил два схематичных чертежа — масштаб не соблюдён, но все обозначения и углы указаны.
Чертеж 1. Расстояние до башни
C — башня
/ \
/ \
/ \
/ ∠C=60°\
/ \
/ \
∠A=70° / \ ∠B=50°
A •——————/ \——————• B
AB = 100 м
Что отметить на чертеже:
- \(A\) и \(B\) — наблюдатели;
- \(AB=100\) м;
- \(\angle A=70^\circ\);
- \(\angle B=50^\circ\);
- \(\angle C=180^\circ-70^\circ-50^\circ=60^\circ\);
- искомая сторона — \(AC\).
Можно также подписать:
\[ AC\approx 88{,}5\ \text{м}. \]
Чертеж 2. Расстояние между самолётами
P — 1-й самолёт
/|
/ |
900 км / |
/ |
/ |
/ |
/ |
90° / |
O •——————/ |
\ |
\ |
1200 км \ |
\ |
\ |
\ |
\ |
\ |
• Q — 2-й самолёт
Пояснение к чертежу:
- \(O\) — пункт вылета;
- \(OP=600\cdot1{,}5=900\) км;
- \(OQ=800\cdot1{,}5=1200\) км;
- угол между курсами: \[ 135^\circ-45^\circ=90^\circ, \] поэтому \(\angle POQ=90^\circ\);
- расстояние между самолётами — отрезок \(PQ\): \[ PQ=\sqrt{900^2+1200^2}=1500\ \text{км}. \]
Если удобнее, на чертеже можно расположить \(OP\) горизонтально вправо, а \(OQ\) вертикально вверх — тогда сразу видно, что треугольник \(POQ\) прямоугольный.
