Вариант 4 № 1 Найдите разность матриц A - B, если A=(-3 3 -1; 2 0 4; 1 1 3), B=(2 -1 -4; 3 0 3; 2 1 4)

Краткие ответы

№ 1. \(A-B=\begin{pmatrix}-5&4&3\\-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}\)

№ 2. \(2A-4B=\begin{pmatrix}-2&14&6\\-16&-26&-6\\-8&-2&6\end{pmatrix}\)

№ 3. \(AB=\begin{pmatrix}1&16\\0&14\end{pmatrix}\)

Главный принцип

Сложение, вычитание и умножение на число делаются по клеткам с одинаковыми номерами строки и столбца. Умножение матриц устроено иначе: берём строку первой матрицы и столбец второй, перемножаем «навстречу» и складываем.

№ 1. Разность \(A-B\)

Вычитаем из каждой клетки \(A\) клетку \(B\) с тем же адресом:

\[ \begin{pmatrix}-3-2 & 3-(-1) & -1-(-4)\\ 2-3 & 0-0 & 4-3\\ 1-2 & 1-1 & 3-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5&4&3\\-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix} \]

Осторожно со знаками: \(3-(-1)=3+1=4\).

№ 2. Линейная комбинация \(2A-4B\)

Считаем по формуле \(2a_{ij}-4b_{ij}\), например:

• \(2\cdot1-4\cdot1=-2\);
• \(2\cdot3-4\cdot(-2)=6+8=14\);
• \(2\cdot(-5)-4\cdot4=-10-16=-26\);
• \(2\cdot3-4\cdot0=6\).

Итог:

\[ 2A-4B=\begin{pmatrix}-2&14&6\\-16&-26&-6\\-8&-2&6\end{pmatrix} \]

№ 3. Произведение \(AB\)

Проверяем размеры: \(A\) имеет размер \(2\times3\), \(B\) — \(3\times2\). Внутренние числа совпали (\(3=3\)), значит произведение существует и будет матрицей \(2\times2\).

Элемент \(c_{11}\) — первая строка \(A\) на первый столбец \(B\):

\[ c_{11}=2\cdot0+3\cdot1+1\cdot(-2)=0+3-2=1 \]

Остальные так же:

\[ c_{12}=2\cdot3+3\cdot3+1\cdot1=6+9+1=16 \] \[ c_{21}=0\cdot0+4\cdot1+2\cdot(-2)=0+4-4=0 \] \[ c_{22}=0\cdot3+4\cdot3+2\cdot1=0+12+2=14 \]

\[ AB=\begin{pmatrix}1&16\\0&14\end{pmatrix} \]

Проверка

• № 1: сумма всех элементов \(A\) равна \(10\), сумма \(B\) тоже \(10\), значит сумма элементов разности должна быть \(0\). У нас: \(-5+4+3-1+0+1-1+0-1=0\). Верно.
• № 2: сумма элементов \(A\) равна \(13\), \(B\) — \(15\), значит сумма результата \(2\cdot13-4\cdot15=-34\). У нас \(-34\). Верно.
• № 3: каждая клетка — это «строка × столбец», поэтому перепроверять удобно именно по одной строке: \(c_{21}\) и \(c_{22}\) взяты из второй строки \(A\). Всё сходится.