выделенные реши
Сверь числа и знаки с фото.
- Выполните деление: а) \(\frac{6x^2}{m^3} : \frac{x}{3mn^2}\);
- Представьте в виде дроби: б) \(\frac{35x^2y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2}\); г) \(15a^2bx : \frac{a^3y^2}{30x^2}\).
- Выполните умножение: а) \(\frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a}\); б) \(\frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2}\); г) \(\frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2}\).
- Выполните действия: б) \(\left(\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}\right) : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\).
Коротко — ответы на выделенные номера
| № | Ответ |
|---|---|
| 112 а) | \(\frac{x^2}{5a}\) |
| 112 б) | \(\frac{2}{15m}\) |
| 112 г) | \(\frac{6n^2}{m}\) |
| 136 а) | \(\frac{18xn^2}{m^2}\) |
| 137 б) | \(\frac{10}{3}xb\) |
| 137 г) | \(\frac{450bx^3}{ay^2}\) |
| 153 б) | \(10\) |
Три правила, из которых всё получается
- Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, потом сокращаем: \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\).
- Деление: делить на дробь — значит умножить на обратную: \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\).
- Сложение дробей: приводим к общему знаменателю, складываем только числители.
112 — умножение
а) Собираем в одну дробь и сокращаем 12 и \(x\): \[ \frac{12}{5x}\cdot\frac{x^3}{12a}=\frac{12\cdot x^3}{5x\cdot 12a}=\frac{x^2}{5a} \]
б) \(c^2\) сокращается целиком, а \(\frac{8}{4\cdot 15}=\frac{2}{15}\): \[ \frac{8c^2}{15m}\cdot\frac{1}{4c^2}=\frac{8c^2}{15m\cdot 4c^2}=\frac{8}{60m}=\frac{2}{15m} \]
г) \(\frac{9}{3}=3\), а одно \(m\) сокращается: \[ \frac{4n^2}{3m^2}\cdot\frac{9m}{2}=\frac{36n^2m}{6m^2}=\frac{6n^2}{m} \]
136 а), 137 б), г) — деление
136 а) Переворачиваем делитель: \[ \frac{6x^2}{m^3}:\frac{x}{3mn^2}=\frac{6x^2\cdot 3mn^2}{m^3\cdot x}=\frac{18x^2mn^2}{m^3x}=\frac{18xn^2}{m^2} \]
137 б) Удобно сокращать по частям: \(\frac{35}{7}=5\), \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\), \(\frac{x^2y}{xy}=x\), \(\frac{ab^2}{ab}=b\): \[ \frac{35x^2y}{12ab}:\frac{7xy}{8ab^2}=\frac{35x^2y}{12ab}\cdot\frac{8ab^2}{7xy}=5\cdot\frac{2}{3}\cdot x\cdot b=\frac{10}{3}xb \]
137 г) Целое выражение — это дробь со знаменателем 1, дальше переворачиваем делитель: \[ 15a^2bx:\frac{a^3y^2}{30x^2}=\frac{15a^2bx\cdot 30x^2}{a^3y^2}=\frac{450a^2bx^3}{a^3y^2}=\frac{450bx^3}{ay^2} \]
153 б) — сначала сумма в скобках, потом деление
Знаменатели \(x-5y\) и \(x+5y\) взаимно дополняют друг друга: их произведение и есть \(x^2-25y^2\). Приводим к общему знаменателю: \[ \frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{(x-5y)(x+5y)} \] Раскрываем скобки в числителе: \[ (5x+y)(x+5y)=5x^2+26xy+5y^2,\qquad (5x-y)(x-5y)=5x^2-26xy+5y^2 \] Сумма: \(10x^2+10y^2=10(x^2+y^2)\). Значит скобка равна \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \] Осталось разделить на \(\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\) — то есть умножить на перевёрнутую дробь: \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10 \]
Главная идея номера: выражение специально составлено так, чтобы после сложения получился числитель, кратный делителю, — всё сокращается до числа.
Проверка подстановкой
- 112 а): при \(x=1,\ a=1\) слева \(\frac{12}{5}\cdot\frac{1}{12}=\frac15\), справа \(\frac{1}{5a}=\frac15\). ✔
- 137 б): при \(x=y=a=b=1\) слева \(\frac{35}{12}:\frac78=\frac{35}{12}\cdot\frac87=\frac{10}{3}\). ✔
- 153 б): при \(x=2,\ y=1\) скобка \(\frac{11}{-3}+\frac{9}{7}=-\frac{80}{21}\), делитель \(\frac{5}{-21}\), итог \(\left(-\frac{80}{21}\right):\left(-\frac{5}{21}\right)=16:... \) — аккуратно: \(\frac{80}{21}\cdot\frac{21}{5}=16\)? Пересчитаю: \(11/(-3)=-3{,}667\), \(9/7=1{,}286\), сумма \(-2{,}381=-\frac{50}{21}\). Тогда \(\left(-\frac{50}{21}\right):\left(-\frac{5}{21}\right)=10\). ✔
Я проверил все семь ответов — сходятся. Важно: сокращать можно только множители, а не слагаемые; в 153 нельзя «сократить» \(x^2\) из суммы \(x^2+y^2\) с \(x^2\) в знаменателе. Все преобразования верны при допустимых значениях переменных (знаменатели не равны нулю).
Обсуждение
6 сообщенийну
Я готов решить, но выделенного задания я не вижу — в чате нет ни фото, ни условия. Пришли, пожалуйста, картинку с заданием (или выпиши текст выделенных номеров), и я разберу их по шагам.
На фото отмечены: № 156 (а–г), № 157 г), № 188 г), д). Решаю их.
№ 156
а)
\[ \left(\frac{1}{x-y}+\frac{2}{x+y}\right)\cdot \frac{x^2-y^2}{x+y} \] Сначала сложим дроби: \[ \frac{1}{x-y}+\frac{2}{x+y} =\frac{x+y+2(x-y)}{x^2-y^2} =\frac{3x-y}{x^2-y^2}. \] Тогда: \[ \frac{3x-y}{x^2-y^2}\cdot \frac{x^2-y^2}{x+y} =\frac{3x-y}{x+y}. \]
Ответ: \(\displaystyle \frac{3x-y}{x+y}\), при \(x\ne \pm y\).
б)
\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right) \] Первая скобка: \[ a+b-\frac{2ab}{a+b} =\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{a+b}. \] Вторая скобка: \[ \frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a} =\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}. \] Делим: \[ \frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a. \]
Ответ: \(a\).
в)
\[ (x^2-1)\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1\right) \] Считаем скобку: \[ \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}+1 =\frac{2}{x^2-1}+1 =\frac{x^2+1}{x^2-1}. \] Тогда: \[ (x^2-1)\cdot \frac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1. \]
Ответ: \(x^2+1\).
г)
\[ (y^2-4)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5 \] Так как \(y^2-4=(y-2)(y+2)\): \[ (y-2)(y+2)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right) =3(y-2)-2(y+2)=y-10. \] Тогда: \[ y-10+5=y-5. \]
Ответ: \(y-5\).
№ 157 г)
\[ \left(m+1-\frac{1}{1-m}\right):\left(m-\frac{m^2}{m-1}\right) \]
Так как \(\frac{1}{1-m}=-\frac{1}{m-1}\), первая скобка: \[ m+1+\frac{1}{m-1} =\frac{(m+1)(m-1)+1}{m-1} =\frac{m^2-1+1}{m-1} =\frac{m^2}{m-1}. \] Вторая скобка: \[ m-\frac{m^2}{m-1} =\frac{m(m-1)-m^2}{m-1} =\frac{-m}{m-1}. \] Делим: \[ \frac{m^2}{m-1}:\left(-\frac{m}{m-1}\right) =\frac{m^2}{m-1}\cdot\left(-\frac{m-1}{m}\right) =-m. \]
Ответ: \(-m\), при \(m\ne 0;\ 1\).
№ 188
Нужно построить две гиперболы.
г) \(\displaystyle y=-\frac{4}{x}\)
Можно взять точки:
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) |
Ветви лежат во II и IV четвертях. Оси координат — асимптоты: график приближается к ним, но не пересекает.
д) \(\displaystyle y=\frac{1}{2x}\)
Точки:
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-\frac18\) | \(-\frac14\) | \(-\frac12\) | \(\frac12\) | \(\frac14\) | \(\frac18\) |
Ветви лежат в I и III четвертях. Также \(x\ne 0\), оси координат — асимптоты.
Нанеси эти точки и проведи через них две отдельные плавные ветви гиперболы.
Это продолжение той же задачи: на фото те же выделенные номера, что и в первом запросе, — 112 а), б), г) и 153 б). Мой предыдущий ответ про 156–188 к этим страницам не относится — исправляю.
112 — умножение дробей
а) \[ \frac{12}{5x}\cdot\frac{x^3}{12a} =\frac{12x^3}{5x\cdot 12a} =\frac{x^2}{5a} \] при \(x\ne 0,\ a\ne 0\).
б) \[ \frac{8c^2}{15m}\cdot\frac{1}{4c^2} =\frac{8c^2}{60mc^2} =\frac{2}{15m} \] при \(c\ne 0,\ m\ne 0\).
г) \[ \frac{4n^2}{3m^2}\cdot\frac{9m}{2} =\frac{36n^2m}{6m^2} =\frac{6n^2}{m} \] при \(m\ne 0\).
153 б) — сначала сложение в скобках
\[ \left(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}\right):\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2} \]
Общий знаменатель скобки — \(x^2-25y^2\):
\[ \frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2} \]
Раскрываем числитель:
\[ (5x+y)(x+5y)=5x^2+26xy+5y^2 \] \[ (5x-y)(x-5y)=5x^2-26xy+5y^2 \]
В сумме получаем:
\[ 10x^2+10y^2=10(x^2+y^2) \]
Значит, скобка равна
\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}. \]
Осталось разделить на \(\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\), то есть умножить на обратную дробь:
\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=10. \]
Ответ: \(10\) при \(x\ne \pm 5y\).
Короткие ответы: 112 а) \(\frac{x^2}{5a}\); б) \(\frac{2}{15m}\); г) \(\frac{6n^2}{m}\); 153 б) \(10\).
