Многоугольники F1 и F2 подобны. Пусть S1 и S2 — их площади, а k — коэффициент подобия многоугольника F1 относительно F2.

Question

реши номер 1306

Расшифровка фото нейросетью:
1306. Многоугольники $F_1$ и $F_2$ подобны. Пусть $S_1$ и $S_2$ — их площади, а $k$ — коэффициент подобия многоугольника $F_1$ относительно $F_2$. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу.

| $S_1$ | $27$ см² | $640$ см² | ___ | $24$ см² | $6$ мм² | $4a^2$ см² |
| $S_2$ | $3$ см² | ___ | $54$ дм² | $\frac{2}{3}$ | ___ | $\sqrt a$ |
| $k$ | ___ | $2$ | $\frac{2}{3}$ | ___ | $3$ | ___ |

Answer

Коротко — заполненная таблица:

|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |

$S_1$ |
$27$ см² |
$640$ см² |
$24$ дм² |
$24$ см² |
$6$ мм² |
$4a^2$ см² |

$S_2$ |
$3$ см² |
$160$ см² |
$54$ дм² |
$\frac{2}{3}$ см² |
$\frac{2}{3}$ мм² |
$\sqrt a$ см² |

$k$ |
$3$ |
$2$ |
$\frac{2}{3}$ |
$6$ |
$3$ |
$2a^{3/4}$ |

Главное соотношение для подобных многоугольников:

$$
\frac{S_1}{S_2}=k^2
$$

Отсюда:

$$
S_1=k^2S_2,\qquad S_2=\frac{S_1}{k^2},\qquad k=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}
$$

Берём положительный корень, потому что коэффициент подобия положителен.

Как получились значения:

1. $k=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt9=3$.

2. $S_2=\frac{640}{2^2}=\frac{640}{4}=160$.

3. $S_1=\left(\frac23\right)^2\cdot54=\frac49\cdot54=24$.

4. $k=\sqrt{\frac{24}{2/3}}=\sqrt{36}=6$.

5. $S_2=\frac{6}{3^2}=\frac69=\frac23$.

6. $k=\sqrt{\frac{4a^2}{\sqrt a}}=2a^{3/4}$, при $a>0$.

Проверка: например, в 4-м столбце $\frac{24}{2/3}=36=6^2$, значит $k=6$. Всё сходится.

	1	2	3	4	5	6
\(S_1\)	\(27\) см²	\(640\) см²	\(24\) дм²	\(24\) см²	\(6\) мм²	\(4a^2\) см²
\(S_2\)	\(3\) см²	\(160\) см²	\(54\) дм²	\(\frac{2}{3}\) см²	\(\frac{2}{3}\) мм²	\(\sqrt a\) см²
\(k\)	\(3\)	\(2\)	\(\frac{2}{3}\)	\(6\)	\(3\)	\(2a^{3/4}\)