помоги решить

В обозначениях темы \(a,b\) — катеты, \(c\) — гипотенуза, \(a_c\) и \(b_c\) — проекции катетов на гипотенузу, \(h\) — высота, проведённая к гипотенузе.

Краткий ответ

• а) \(h=20,\quad a=4\sqrt{41},\quad b=5\sqrt{41}\);
• б) \(h=48,\quad a=80,\quad b=60\);
• в) \(a=12\sqrt3,\quad c=24,\quad a_c=18\);
• г) \(b=8\sqrt3,\quad c=16,\quad b_c=12\);
• д) \(h=2\sqrt5,\quad b=3\sqrt5,\quad a_c=4,\quad b_c=5\).

Как это получается

В прямоугольном треугольнике выполняются формулы:

\[ c=a_c+b_c, \]

\[ a^2=c\cdot a_c,\qquad b^2=c\cdot b_c, \]

\[ h^2=a_c\cdot b_c. \]

То есть катет — это среднее геометрическое гипотенузы и его проекции на гипотенузу, а высота — среднее геометрическое проекций катетов.

а) \(b_c=25,\ a_c=16\)

\[ c=25+16=41 \]

\[ a=\sqrt{41\cdot16}=4\sqrt{41}, \]

\[ b=\sqrt{41\cdot25}=5\sqrt{41}, \]

\[ h=\sqrt{25\cdot16}=20. \]

б) \(b_c=36,\ a_c=64\)

\[ c=36+64=100 \]

\[ a=\sqrt{100\cdot64}=80, \]

\[ b=\sqrt{100\cdot36}=60, \]

\[ h=\sqrt{36\cdot64}=48. \]

в) \(b=12,\ b_c=6\)

Сначала находим гипотенузу:

\[ c=\frac{b^2}{b_c}=\frac{144}{6}=24. \]

Тогда

\[ a_c=c-b_c=24-6=18, \]

\[ a=\sqrt{c\cdot a_c}=\sqrt{24\cdot18}=12\sqrt3. \]

г) \(a=8,\ a_c=4\)

\[ c=\frac{a^2}{a_c}=\frac{64}{4}=16, \]

\[ b_c=16-4=12, \]

\[ b=\sqrt{16\cdot12}=8\sqrt3. \]

д) \(a=6,\ c=9\)

\[ a_c=\frac{a^2}{c}=\frac{36}{9}=4, \]

\[ b_c=9-4=5, \]

\[ b=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5, \]

\[ h=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt5. \]

Проверка: \(a_c+b_c=c\), а в пункте д) \(6^2+(3\sqrt5)^2=36+45=81=9^2\).