реши с объяснением 103

Question

Расшифровка фото нейросетью:
103. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $P$ и $P_1$ так, что $AP = A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Answer

Краткий ответ: $\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство

1. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$:
$$
AB=A_1B_1,\quad AC=A_1C_1,\quad \angle A=\angle A_1.
$$
Значит, $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
$$
BC=B_1C_1,\qquad \angle ABC=\angle A_1B_1C_1.
$$

2. Так как точки $P$ и $P_1$ лежат на сторонах $AB$ и $A_1B_1$:
$$
BP=AB-AP,\qquad B_1P_1=A_1B_1-A_1P_1.
$$
По условию $AB=A_1B_1$ и $AP=A_1P_1$, поэтому
$$
BP=B_1P_1.
$$

3. Луч $BP$ совпадает с лучом $BA$, а луч $B_1P_1$ — с лучом $B_1A_1$. Значит,
$$
\angle PBC=\angle ABC=\angle A_1B_1C_1=\angle P_1B_1C_1.
$$

4. В треугольниках $BPC$ и $B_1P_1C_1$ имеем:
$$
BP=B_1P_1,\quad BC=B_1C_1,\quad \angle PBC=\angle P_1B_1C_1.
$$
Это две стороны и угол между ними, поэтому
$$
\triangle BPC=\triangle B_1P_1C_1.
$$

Проверка: все три условия первого признака выполнены; соответствующие стороны $PC$ и $P_1C_1$ тоже равны.