1199, 1201

Кратко

1199.
а) \(2^{6}=64\); б) \(2^{-3}=\frac{1}{8}\); в) \(2^{3}=8\); г) \(2^{2}=4\).

1201.
а) \(1\); б) \(27\); в) \(1000\); г) \(\frac{1}{25}\); д) \(2\); е) \(1\); ж) \(81\); з) \(15\,625\).

Главный приём

Нужно привести все числа к одному основанию:

\[ 4=2^2,\quad 8=2^3,\quad 16=2^4,\quad 32=2^5, \] \[ 9=3^2,\quad 27=3^3,\quad 25=5^2,\quad 125=5^3. \]

Затем используем свойства степеней:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n}, \] \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1. \]

1199

а) \[ \frac{1}{16}\cdot 2^{10}=2^{-4}\cdot 2^{10}=2^{6}=64. \]

б) \[ 32\cdot(2^{-4})^2=2^5\cdot 2^{-8}=2^{-3}=\frac{1}{8}. \]

в) \[ 8^{-1}\cdot 4^3=(2^3)^{-1}\cdot(2^2)^3 =2^{-3}\cdot 2^6=2^3=8. \]

г) \[ 4^5\cdot 16^{-2}=(2^2)^5\cdot(2^4)^{-2} =2^{10}\cdot 2^{-8}=2^2=4. \]

1201

а) \[ 8^{-2}\cdot 4^3=(2^3)^{-2}\cdot(2^2)^3 =2^{-6}\cdot 2^6=2^0=1. \]

б) \[ 9^{-6}\cdot 27^5=(3^2)^{-6}\cdot(3^3)^5 =3^{-12}\cdot 3^{15}=3^3=27. \]

в) \[ 10^0:10^{-3}=10^{0-(-3)}=10^3=1000. \]

г) \[ 125^{-4}:25^{-5}=(5^3)^{-4}:(5^2)^{-5} =5^{-12}:5^{-10}=5^{-2}=\frac{1}{25}. \]

д) \[ \frac{2^{-21}}{4^{-5}\cdot 4^{-6}} =\frac{2^{-21}}{4^{-11}} =\frac{2^{-21}}{2^{-22}} =2^1=2. \]

е) \[ \frac{4^{-2}\cdot 8^{-6}}{2^{-22}} =\frac{2^{-4}\cdot 2^{-18}}{2^{-22}} =\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=1. \]

ж) \[ \frac{3^{-10}\cdot 9^8}{(-3)^2} =\frac{3^{-10}\cdot 3^{16}}{3^2} =\frac{3^6}{3^2}=3^4=81. \]

з) \[ \frac{5^{-5}\cdot 25^{10}}{125^3} =\frac{5^{-5}\cdot 5^{20}}{5^9} =\frac{5^{15}}{5^9}=5^6=15\,625. \]

Что важно не перепутать: отрицательный показатель не делает число отрицательным, например \(2^{-3}=\frac{1}{8}\). При делении степеней показатели именно вычитаются, а при возведении степени в степень — перемножаются.