Объясните

Краткий ответ

\[ OC = 32 \]

Почему так

1. Замечаем медианы. \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\), значит \(AN\) и \(CM\) — медианы треугольника \(ABC\), а \(O\) — точка их пересечения (центроид).

2. Средняя линия. Отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон, поэтому

\[ MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{AC}{2}. \]

3. Подобие. В треугольниках \(MON\) и \(COA\):

• \(\angle MON=\angle COA\) — вертикальные;
• \(\angle OMN=\angle OCA\) — накрест лежащие при \(MN \parallel AC\) и секущей \(MC\).

Значит \(\triangle MON \sim \triangle COA\) с коэффициентом

\[ \frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}. \]

4. Переводим подобие в длины. Из подобия

\[ \frac{OM}{OC}=\frac{1}{2},\qquad \frac{ON}{OA}=\frac{1}{2}. \]

То есть медиана \(CM\) делится точкой \(O\) в отношении \(CO:OM=2:1\) (считая от вершины \(C\)). Вся медиана — это \(3\) части:

\[ OM=\frac{CM}{3}=\frac{48}{3}=16,\qquad OC=\frac{2\,CM}{3}=\frac{2\cdot 48}{3}=32. \]

Это и есть общее правило: точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Проверка

• \(OM=16\), тогда \(CM=OC+OM=32+16=48\) — совпадает с условием.
• Вторая медиана: \(OA=\frac{2}{3}\cdot 42=28\), \(ON=\frac{1}{3}\cdot 42=14\), и \(ON+OA=14+28=42=AN\). ✔

Число \(AN=42\) для ответа не понадобилось — оно дано «про запас», но проверка с ним сходится, значит решение верное.