Реши задачу

Здесь два пункта — решу оба. Общая идея: на круговой орбите сила притяжения сообщает спутнику центростремительное ускорение.

1. Скорость спутника Земли

Радиус Земли в условии не указан, берём табличный: \[ R_{\text{З}}\approx 6{,}4\cdot10^6\ \text{м}. \] Высота спутника: \[ h=2600\ \text{км}=2{,}6\cdot10^6\ \text{м}. \] Радиус орбиты: \[ r=R_{\text{З}}+h=6{,}4\cdot10^6+2{,}6\cdot10^6 =9{,}0\cdot10^6\ \text{м}. \]

Для круговой орбиты: \[ \frac{G M_{\text{З}} m}{r^2}=\frac{m v^2}{r}, \] поэтому \[ v=\sqrt{\frac{G M_{\text{З}}}{r}}. \]

Подставляем: \[ v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}} \approx 6{,}67\cdot10^3\ \text{м/с}. \]

Ответ:
\[ \boxed{v\approx 6{,}7\ \text{км/с}} \]

2. Радиус Луны

Спутник движется вблизи поверхности Луны, поэтому радиус орбиты примерно равен радиусу Луны: \[ r\approx R_{\text{Л}}. \]

Ускорение свободного падения на поверхности Луны играет роль центростремительного ускорения: \[ g_{\text{Л}}=\frac{v^2}{R_{\text{Л}}}. \] Отсюда \[ R_{\text{Л}}=\frac{v^2}{g_{\text{Л}}}. \]

Переведём скорость в м/с: \[ v=1{,}67\ \text{км/с}=1{,}67\cdot10^3\ \text{м/с}. \] Тогда \[ R_{\text{Л}}= \frac{(1{,}67\cdot10^3)^2}{1{,}6} = \frac{2{,}7889\cdot10^6}{1{,}6} \approx 1{,}74\cdot10^6\ \text{м}. \]

Ответ: \[ \boxed{R_{\text{Л}}\approx 1{,}74\cdot10^3\ \text{км}\approx 1740\ \text{км}} \]

Для проверки: \(\sqrt{g_{\text{Л}}R_{\text{Л}}}\approx1{,}67\) км/с — сходится.

Это продолжение: на фото задачи 3–4 из того же набора по закону всемирного тяготения. Решаю их.

3. Где сила тяготения в 3 раза меньше?

На поверхности Земли: \[ F_0=G\frac{Mm}{R^2}. \]

На расстоянии \(r\) от центра Земли: \[ F=G\frac{Mm}{r^2}. \]

По условию \(F=\frac{F_0}{3}\), значит: \[ G\frac{Mm}{r^2}=\frac{1}{3}G\frac{Mm}{R^2} \quad\Rightarrow\quad r^2=3R^2 \quad\Rightarrow\quad r=R\sqrt3. \]

При \(R\approx 6400\) км: \[ r\approx 6400\cdot1{,}732\approx1{,}1\cdot10^4\ \text{км} \] — это расстояние от центра Земли.

Высота над поверхностью: \[ h=r-R=R(\sqrt3-1)\approx6400\cdot0{,}732 \approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}. \]

Ответ: примерно \(4{,}7\cdot10^3\) км над поверхностью Земли, или \(1{,}1\cdot10^4\) км от центра Земли.

4. Путь ракеты за первую секунду падения

На высоте \(h=3200\) км ускорение свободного падения меньше: \[ g_h=g_0\left(\frac{R}{R+h}\right)^2. \]

Подставляем \(R=6400\) км, \(h=3200\) км: \[ g_h=9{,}8\left(\frac{6400}{6400+3200}\right)^2 =9{,}8\left(\frac{2}{3}\right)^2 \approx4{,}36\ \text{м/с}^2. \]

Ракета начинает падать из состояния покоя, поэтому за первую секунду: \[ s=\frac{g_h t^2}{2} =\frac{4{,}36\cdot1^2}{2} \approx2{,}18\ \text{м}. \]

Ответ: примерно \(2{,}2\) м, то есть около \(2\) м.