1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на 36° меньше другого.

На фото несколько задач. Ниже — решения основной страницы (№1–5), затем ответы для видимых справа №3–5.

Левая страница

1. Пусть больший угол \(x\), тогда меньший \(x-36^\circ\). Соседние углы параллелограмма дают в сумме \(180^\circ\): \[ x+(x-36^\circ)=180^\circ \Rightarrow x=108^\circ. \] Меньший угол: \(108^\circ-36^\circ=72^\circ\). Противоположные углы равны.

Ответ: \(72^\circ\) и \(108^\circ\).

2. На рисунке 161 отмечены равенства противоположных сторон: \(AB=CD\), \(AD=BC\). Проведём диагональ \(AC\). Тогда треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам. Значит, накрест лежащие углы при \(AC\) равны, поэтому \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\). Четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

3. Диагональ делит прямой угол \(90^\circ\) в отношении \(1:2\), значит, углы равны \(30^\circ\) и \(60^\circ\). Меньшая сторона прямоугольника лежит против угла \(30^\circ\). Если диагональ \(d\), то \[ \sin30^\circ=\frac{12}{d},\quad d=\frac{12}{1/2}=24\text{ см}. \]

Ответ: 24 см.

4. Пусть \(AD=26\) см — большее основание, \(AB=CD=x\) — боковые стороны. Тупые углы трапеции по \(120^\circ\), значит, острые углы при большем основании по \(60^\circ\). Диагональ \(AC\) перпендикулярна \(CD\), поэтому треугольник \(ACD\) прямоугольный с гипотенузой \(AD\) и углом \(D=60^\circ\). Тогда \[ CD=AD\cos60^\circ=26\cdot\frac12=13\text{ см}. \]

Ответ: 13 см.

5. Пусть из вершины тупого угла \(B\) проведены высоты \(h_1\) и \(h_2\) к сторонам \(AD\) и \(CD\). Площадь параллелограмма: \[ S=AD\cdot h_1=CD\cdot h_2. \] По условию \(h_1=h_2\), значит, \(AD=CD\). В параллелограмме \(CD=AB\), поэтому \(AB=AD\), то есть соседние стороны равны. Параллелограмм с равными соседними сторонами — ромб.

Видимые справа задачи

3. Углы ромба относятся как \(1:2\), значит, они равны \(60^\circ\) и \(120^\circ\). При остром угле \(60^\circ\) меньшая диагональ равна стороне: \[ d=2a\sin30^\circ=a. \] По условию \(d=15\) см, значит, \(a=15\) см. \[ P=4a=60\text{ см}. \]

Ответ: 60 см.

4. По аналогии с задачей 4 слева: в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, боковой стороной \(17\) см и большим основанием, угол при основании \(60^\circ\). Большее основание — гипотенуза: \[ AD=\frac{17}{\cos60^\circ}=34\text{ см}. \]

Ответ: 34 см.

5. Доказательство такое же, как в №5 слева: две высоты из вершины острого угла к двум противоположным сторонам равны, а площади \(S=AD\cdot h_1=CD\cdot h_2\). Отсюда \(AD=CD\), то есть смежные стороны параллелограмма равны, и он является ромбом.