решить подробно и сделать рисунок к каждой задаче

Краткие ответы

1. \(\sin\alpha = 0{,}8\) (для острого угла); в общем случае \(\sin\alpha = \pm 0{,}8\).
2. \(AC = 3\).
3. Третья сторона \(c=\sqrt{39}\approx 6{,}2\) см; площадь \(S=\dfrac{35\sqrt{3}}{4}\approx 15{,}2\) см².

Задача 1. \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha=0{,}6\)

Принцип: работает основное тригонометрическое тождество \[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 . \]

Шаги: \[ \sin^2\alpha = 1-0{,}6^2 = 1-0{,}36 = 0{,}64, \] \[ \sin\alpha = \pm\sqrt{0{,}64}=\pm 0{,}8 . \]

Как выбрать знак: \(\cos\alpha=0{,}6>0\), значит угол в I или IV четверти. Если \(\alpha\) острый (так обычно и подразумевают в 9 классе) — \(\sin\alpha=0{,}8\); если угол IV четверти — \(\sin\alpha=-0{,}8\).

Проверка: \(0{,}8^2+0{,}6^2=0{,}64+0{,}36=1\). ✓

Рисунок здесь не нужен: это тождество, а не геометрическая конструкция.

Задача 2. В треугольнике \(ABC\): \(\angle B=30^\circ\), \(\angle C=105^\circ\), \(BC=3\sqrt2\). Найти \(AC\)

              B
             / \
            /30°\   BC = 3√2
           /     \
          A-------C
       ∠A=45°   ∠C=105°
          AC = ?

Принцип: теорема синусов — стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: \[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}. \]

Шаги:

1. Третий угол: \(\angle A = 180^\circ-30^\circ-105^\circ = 45^\circ\).
2. \(AC\) лежит против \(\angle B=30^\circ\), а \(BC\) — против \(\angle A=45^\circ\). Значит \[ AC=\frac{BC\cdot\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} =\frac{3\sqrt2\cdot \tfrac12}{\tfrac{\sqrt2}{2}} =3\sqrt2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt2}=3 . \]

Проверка: \(\dfrac{AC}{\sin 30^\circ}=\dfrac{3}{0{,}5}=6\), \(\dfrac{BC}{\sin 45^\circ}=\dfrac{3\sqrt2}{\sqrt2/2}=6\). Равенство выполнено. ✓

Задача 3. Стороны \(5\) см и \(7\) см, угол между ними \(60^\circ\)

              B
             / \
         5  /   \  √39
           / 60° \
          A-------C
              7

Здесь \(AB=5\), \(AC=7\), \(\angle A=60^\circ\), \(BC\) — искомая сторона.

Принцип: теорема косинусов \[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma , \] где \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).

Третья сторона: \[ BC^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cdot\cos 60^\circ =25+49-70\cdot\tfrac12=74-35=39, \] \[ BC=\sqrt{39}\approx 6{,}2\text{ см}. \]

Площадь — через две стороны и угол между ними: \[ S=\tfrac12 ab\sin\gamma=\tfrac12\cdot5\cdot7\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{35\sqrt3}{4}\approx 15{,}2\text{ см}^2 . \]

Проверка: \(74-35=39\), а \(\sqrt{39}\approx 6{,}24\) — сторона больше \(7-5=2\) и меньше \(7+5=12\), треугольник существует. ✓

Что запомнить: №1 — тождество \(\sin^2+\cos^2=1\) и знак по четверти; №2 — теорема синусов (нужен третий угол); №3 — теорема косинусов для стороны и формула \(\tfrac12ab\sin\gamma\) для площади.