Коротко: на олимпиаду завтра не надо учить всё. Сначала выучи 4 общие формулы, частные случаи, 3 приёма для уравнений и 3 приёма для систем. Этого хватит, чтобы решать базовые задания.

1. Общие формулы

Везде \(n\in\mathbb Z\).

\[ \sin x=a,\quad |a|\le 1:\qquad x=(-1)^n\arcsin a+\pi n \]

\[ \cos x=a,\quad |a|\le 1:\qquad x=\pm\arccos a+2\pi n \]

\[ \tan x=a:\qquad x=\arctan a+\pi n \]

\[ \cot x=a:\qquad x=\mathrm{arccot}\,a+\pi n \]

Если аргумент не \(x\), а, например, \(2x\), сначала решай уравнение для \(2x\), потом дели всё на \(2\).

2. Частые случаи

Уравнение	Решение
\(\sin x=0\)	\(x=\pi n\)
\(\sin x=1\)	\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\)
\(\sin x=-1\)	\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\)
\(\cos x=0\)	\(x=\frac{\pi}{2}+\pi n\)
\(\cos x=1\)	\(x=2\pi n\)
\(\cos x=-1\)	\(x=\pi+2\pi n\)

3. Три приёма для уравнений

1. Сведение к квадратному.
Пример: \[ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0. \] Пусть \(t=\sin x\), причём \(-1\le t\le 1\). Тогда \[ 2t^2-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=\frac12. \] Дальше: \[ \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \] \[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n. \]

2. Разложение на множители.
Например: \[ \sin x(2\cos x-1)=0. \] Тогда либо \(\sin x=0\), либо \(\cos x=\frac12\): \[ x=\pi n \] или \[ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. \]

3. Вспомогательный угол.
Для \(a\sin x+b\cos x=c\) делят на \(\sqrt{a^2+b^2}\). Это чаще нужно на олимпиаде, но сначала потренируй первые два приёма.

4. Системы уравнений

Главные способы:

1. Сложение и вычитание уравнений.
   Пример: \[ \begin{cases} \sin x+\sin y=1,\\ \sin x-\sin y=\frac12. \end{cases} \] Складываем: \[ 2\sin x=\frac32 \Rightarrow \sin x=\frac34. \] Вычитаем: \[ 2\sin y=\frac12 \Rightarrow \sin y=\frac14. \] Ответ: \[ x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n, \] \[ y=(-1)^m\arcsin\frac14+\pi m. \]

2. Замена \(u=\sin x,\ v=\cos y\) с условиями \(-1\le u\le 1\), \(-1\le v\le 1\).

3. Использование ограничений:
   \(|\sin x|\le 1\), \(|\cos x|\le 1\). Например, если \[ \sin x+\sin y=2, \] то оба синуса равны \(1\), значит \[ x=y=\frac{\pi}{2}+2\pi n. \]

5. Что важно не забыть

• Не дели уравнение на \(\cos x\) или \(\sin x\), не проверив случай, когда они равны нулю.
• После возведения в квадрат обязательно проверяй корни.
• В ответе должны быть все серии решений с целыми \(n,k,m\).
• Если в системе две переменные, параметры \(n\) и \(m\) могут быть разными.

За вечер реально выучить эти формулы и разобрать 5–6 простых уравнений и 2 системы. Пришли свои примеры — покажу решение по шагам.

Оке, давай с нуля и по порядку — так, чтобы каждая формула была не «заклинанием», а понятной картинкой.

1. Главная идея: единичная окружность

Берём точку на окружности радиуса 1. Угол \(t\) отмеряем от правой точки против часовой стрелки. Тогда у точки координаты

\[ P(t)=(\cos t;\ \sin t). \]

То есть \(\cos t\) — это «горизонталь» (x), а \(\sin t\) — «вертикаль» (y).

Значит, уравнение \(\sin t=a\) — это вопрос: «в каких точках окружности высота равна \(a\)?» Нарисуй горизонтальную прямую на высоте \(a\) — она пересечёт окружность в двух точках. Отсюда и две серии ответов. А \(2\pi n\) — это «прокрутился на целый круг, попал в ту же точку».

2. Что такое \(\arcsin a\)

\(\arcsin a\) — это один конкретный угол из промежутка \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(a\).

Полезно выучить наизусть таблицу:

\(a\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\arcsin a\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)

И свойство: \(\arcsin(-a)=-\arcsin a\). Например, \(\arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}\).

Важно: если \(|a|>1\), решений нет — синус больше 1 не бывает.

3. Откуда берётся \((-1)^n\)

Две точки на окружности с высотой \(a\):

• правая: \(t_0=\arcsin a\);
• левая: \(t_1=\pi-\arcsin a\).

Это две отдельные серии:

\[ t=\arcsin a+2\pi n \quad\text{и}\quad t=\pi-\arcsin a+2\pi n. \]

Но математики пишут это одной строчкой:

\[ \boxed{\sin t=a \Rightarrow t=(-1)^n\arcsin a+\pi n} \]

Почему работает: подставь \(n=0\) — получишь \(\arcsin a\); подставь \(n=1\) — получишь \(-\arcsin a+\pi=\pi-\arcsin a\). Это ровно две наши серии. Чётные \(n\) дают первую, нечётные — вторую.

4. Косинус и тангенс — по той же логике

У косинуса две точки расположены симметрично относительно горизонтали, поэтому там знак «плюс-минус»:

\[ \cos t=a \Rightarrow t=\pm\arccos a+2\pi n \]

У тангенса и котангенса период \(\pi\), а точка на окружности одна:

\[ \tan t=a \Rightarrow t=\arctan a+\pi n,\qquad \cot t=a \Rightarrow t=\operatorname{arccot}a+\pi n \]

5. Если внутри не \(t\), а \(2x\) или \(3x+1\)

Правило одно: сначала решаем уравнение для всего аргумента целиком, потом делим.

Пример: \(\sin 2x=\frac12\).

\[ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \]

Делим на 2 — и угол, и шаг:

\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \]

Если аргумент \(3x+\frac{\pi}{4}\), то сначала пишем \(3x+\frac{\pi}{4}=\dots\), потом переносим \(\frac{\pi}{4}\) вправо, и только потом делим на 3.

6. Три приёма для уравнений

Приём 1. Замена → квадратное.

\[ 2\sin^2 x-3\sin x+1=0 \]

Обозначаем \(t=\sin x\) (обязательно помним: \(-1\le t\le 1\)):

\[ 2t^2-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=\frac12 \]

Оба значения годятся. Дальше два простых уравнения: \(\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\); \(\sin x=\frac12\Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\).

Приём 2. Разложение на множители.

\[ \sin x\,(2\cos x-1)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:

\[ \sin x=0 \Rightarrow x=\pi n;\qquad \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. \]

Приём 3. Ограниченность.

\(|\sin x|\le 1\), \(|\cos x|\le 1\). Поэтому если видишь \(\sin x+\sin y=2\), то это возможно только при \(\sin x=\sin y=1\). Такие «ловушки» на олимпиадах очень любят.

7. Системы: три рабочих схемы

Схема А. Сложить/вычесть.

\[ \begin{cases} \sin x+\sin y=1\\ \sin x-\sin y=\frac12 \end{cases} \]

Сложили → \(2\sin x=\frac32\Rightarrow \sin x=\frac34\). Вычли → \(2\sin y=\frac12\Rightarrow \sin y=\frac14\).

Ответ: \(x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n\), \(y=(-1)^m\arcsin\frac14+\pi m\). Обрати внимание: \(n\) и \(m\) разные — переменные независимы.

Схема Б. Замена \(u=\sin x,\ v=\cos y\) — получается обычная алгебраическая система, не забудь про \(-1\le u,v\le 1\).

Схема В. Ограниченность (см. приём 3) — часто решает систему в одну строчку.

8. Чек-лист перед олимпиадой

1. Проверил \(|a|\le 1\).
2. Написал серию с \((-1)^n\) (для синуса) или \(\pm\) (для косинуса).
3. Разделил на коэффициент аргумента — и угол, и шаг.
4. В ответе есть \(\pi n\) и указано \(n\in\mathbb Z\).
5. Не делил на \(\sin x\) или \(\cos x\), не разобрав случай «= 0».

9. Мини-тренировка (5 минут)

1. \(\sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}\)
2. \(\cos 3x=\frac12\)
3. \(2\cos^2 x-\cos x-1=0\)
4. \(\begin{cases}\cos x+\cos y=2\\ \cos x-\cos y=0\end{cases}\)

Ответы для самопроверки: 1) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\); 2) \(x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}\); 3) \(x=2\pi n\) или \(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k\); 4) \(x=2\pi n,\ y=2\pi m\).

Пришли свои решения этих четырёх — проверю и покажу, где именно теряются серии. Это самый быстрый способ подготовиться за вечер.

Разобрался со всеми фото. Сначала сверка, чтобы не путаться:

• 1-е фото — \(\sin\): №227, №228.
• 2-е фото — \(\cos\): №232, №233.
• 3-е фото — на самом деле снова \(\sin\) (№235), плюс №234 (квадратные неравенства) и №236 (текстовая задача).
• 4-е фото — \(\operatorname{tg}\): №237, №238.
• 5-е фото — таблица особых случаев, это и есть твоя шпаргалка.

0. Основа — таблица с 5-го фото

\[ \sin x=a:\ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\qquad \cos x=a:\ x=\pm\arccos a+2\pi n,\qquad \operatorname{tg}x=a:\ x=\operatorname{arctg}a+\pi n \]

Одна поправка: для \(\sin x=0\) правильный ответ \(x=\pi n\). Если в книге напечатано \(2\pi n\) — это опечатка.

1. \(\sin\): №227

В этом номере проверяют три «подводных камня».

Камень 1 — коэффициент у аргумента. №227 а): \[ \sin\frac{3x}{4}=-\frac{\sqrt3}{2}\Rightarrow \frac{3x}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n \] Умножаем на \(\frac43\), причём и угол, и шаг: \[ x=(-1)^{n+1}\frac{4\pi}{9}+\frac{4\pi n}{3} \]

Камень 2 — правая часть больше 1. №227 з) \(\sin x=\frac{\pi}{3}\). Но \(\frac{\pi}{3}\approx1{,}05>1\) — решений нет. А вот \(\frac{\pi}{4}\approx0{,}79\) уже меньше 1, поэтому №227 ж) решается. Это любимая ловушка.

Камень 3 — \(\sqrt{x}\) в знаменателе. №227 д): \[ \sin\frac{\pi}{\sqrt x}=0\Rightarrow \frac{\pi}{\sqrt x}=\pi n\Rightarrow \sqrt x=\frac1n \] Корень положителен, значит \(n\ge1\), и после возведения в квадрат \(x=\frac{1}{n^2}\), \(n\in\mathbb N\). Проверять \(x>0\) обязательно.

Ответы №227 (\(n\in\mathbb Z\)):

	Уравнение	Ответ
а)	\(\sin\frac{3x}{4}=-\frac{\sqrt3}{2}\)	\(x=(-1)^{n+1}\frac{4\pi}{9}+\frac{4\pi n}{3}\)
б)	\(\sin\frac{2\pi}{x}=-\frac12\)	\(x=\frac{12}{\,6n+(-1)^{n+1}\,}\)
в)	\(\sin\frac{2\pi}{x}=1\)	\(x=\frac{4}{\,4n+1\,}\)
г)	\(\sin\frac{3\pi}{\sqrt x}=-1\)	\(x=\left(\frac{6}{4n-1}\right)^2,\ n\ge1\)
д)	\(\sin\frac{\pi}{\sqrt x}=0\)	\(x=\frac{1}{n^2},\ n\ge1\)
е)	\(\sin(3-2x)=-\frac{\sqrt2}{2}\)	\(x=\frac32+(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}\)
ж)	\(\sin 2x=\frac{\pi}{4}\)	\(x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\)
з)	\(\sin x=\frac{\pi}{3}\)	нет решений
и)	\(\sin x=\sqrt{0{,}01}\)	\(x=(-1)^n\arcsin 0{,}1+\pi n\)

№228 мы уже решили в первом ответе, там всё верно. Коротко для повторения:

	Ответ		Ответ
а)	\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\)	г)	\(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\)
б)	\(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n\)	д)	\(x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n\)
в)	\(x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\)	е)	\(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\)
ж)	\(x=\pi k\) или \(x=(-1)^m\frac{\pi}{4}+\pi m\)

№235 (третье фото): а) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n\); б) \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n\); в) \(\sin 2x=0\Rightarrow 2x=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}\).

2. \(\cos\): №232–233

Правило: \(x=\pm\arccos a+2\pi n\). Два отличия от синуса: стоит «\(\pm\)» вместо \((-1)^n\), и шаг \(2\pi n\), а не \(\pi n\).

Пример 1. №232 а): \(\cos 2x=-\frac12\). Так как \(\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}\): \[ 2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n \]

Пример 2. №232 е): \(\cos\frac{\pi}{x}=0\). Ноль косинуса — это \(\frac{\pi}{2}+\pi n\): \[ \frac{\pi}{x}=\frac{\pi}{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{2}{2n+1} \]

Пример 3. №232 з): \(\cos x=\frac{\pi}{4}\). Значение не табличное, поэтому ответ так и остаётся: \(x=\pm\arccos\frac{\pi}{4}+2\pi n\).

Ответы №233:

	Ответ		Ответ
а)	\(x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n\)	д)	\(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n\)
б)	\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n\)	е)	\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n\)
в)	\(x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n\)	ж)	\(x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n\)
г)	\(x=\pi+2\pi n\)	з)	\(x=\pm\arccos\frac13+2\pi n\)
		и)	\(x=\frac{\pi}{8}\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n\)

Ответы №232:

	Ответ
а)	\(x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n\)
в)	\(x=\frac{12}{12n+1}\) или \(x=\frac{12}{12n-1}\)
г)	\(x=\left(\frac{12}{12n\pm5}\right)^2\), знаменатель должен быть \(>0\)
д)	\(x=\left(\frac{8}{8n\pm1}\right)^2\), знаменатель должен быть \(>0\)
е)	\(x=\frac{2}{2n+1}\)
ж)	\(x=\frac23\mp\frac{\pi}{4}-\frac{2\pi n}{3}\)
з)	\(x=\pm\arccos\frac{\pi}{4}+2\pi n\)
и)	\(x=\frac34+\frac{3n}{2}\)

3. \(\operatorname{tg}\): №237–238

Правило: \(x=\operatorname{arctg}a+\pi n\), период \(\pi\), никаких \(2\pi n\).

ОДЗ: тангенс не существует при \(\cos x=0\), то есть \(x\neq\frac{\pi}{2}+\pi k\). Если аргумент дробный — отдельно следи, чтобы знаменатель не был нулём.

Пример 1. №237 а): \(\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\sqrt3\). Так как \(\operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}\): \[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n\Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \]

Пример 2 (дробь). №237 д): \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{x}=1\): \[ \frac{\pi}{x}=\frac{\pi}{4}+\pi n\Rightarrow x=\frac{4}{4n+1},\quad x\neq0 \]

Пример 3 (дробь с корнем). Для \(\operatorname{tg}\frac{\pi}{\sqrt x}=a\) сначала: \[ \sqrt x=\frac{\pi}{\operatorname{arctg}a+\pi n},\quad \operatorname{arctg}a+\pi n>0 \] Потом квадрат. При \(a=\frac{1}{\sqrt3}\) будет \(x=\left(\frac{6}{6n+1}\right)^2\), \(n\ge0\); при \(a=-\frac{1}{\sqrt3}\) будет \(x=\left(\frac{6}{6n-1}\right)^2\), \(n\ge1\). Так решаются в) и г) из №237.

Ответы №238:

	Ответ		Ответ
а)	\(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\)	д)	\(x=-\frac{\pi}{2}+3\pi n\)
б)	\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\)	е)	\(x=\pi n\)
в)	\(x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\)	ж)	\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n\)
г)	\(x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}\)	з)	\(x=\frac{\pi n}{2}\)

Ответы №237 (кроме в, г — там формула выше):

	Ответ
а)	\(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\)
б)	\(x=-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}\)
д)	\(x=\frac{4}{4n+1}\)
е)	\(x=\frac{4}{4n-1}\)
ж)	\(x=1+\operatorname{arctg}2-\pi n\)
з)	\(x=\frac23-\frac{\pi n}{3}\)
и)	\(x=\pi n\)

Что дальше

Схема у тебя уже полная: sin → \((-1)^n\), cos → \(\pm\), tg → без минуса, плюс три камня — коэффициент, \(|a|>1\), дробь с \(\sqrt x\). По ней решается весь этот разворот.

Один вопрос: в №232 б) условие не читается (там что-то вроде \(\cos^2\ldots=\frac12\)). Пришли этот пункт крупным планом — разберу. И если нужны №234 (неравенства) или №236 (текстовая задача) — скажи, они не про тригонометрию, но тоже решим.

Спасибо, сверил с ключом. Общая схема верна, но в нескольких пунктах я раньше неверно прочитал условие — исправляю по книге.

Пункт	Ответ по книге	Комментарий
227 а	\(x=(-1)^n\frac{4\pi}{9}+\frac{4\pi n}{3}\)	у меня был знак \((-1)^{n+1}\); значит, в условии, видимо, \(+\frac{\sqrt3}{2}\)
227 б	\(x=\frac{12}{6n+(-1)^n}\)	у меня был противоположный знак
227 в	\(x=\pm\frac{2\sqrt2}{\sqrt{4n+1}},\ n\in\mathbb N\cup\{0\}\)	с моим прежним \(x=\frac{4}{4n+1}\) не совпало
227 д	\(x=\frac{1}{\pi n^2},\ n\ne0\)	я прочитал \(\sin\frac{\pi}{\sqrt x}=0\); по книге в числителе, видимо, \(\sqrt\pi\)
227 и	\(x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{1}{10}+\pi n\)	если в условии \(\sin 2x\), шаг должен быть \(\frac{\pi n}{2}\) — проверь
228 ж	\(x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n\)	в ключе пропущена серия \(x=\pi n\); для \(\sin x(2\sin x-\sqrt2)=0\) она обязательна
232 б	\(x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n\)	добавь этот пункт
232 г	\(x=\pm2\sqrt{\frac{3}{12n\pm5}},\ n\in\mathbb N\)	расходится с моим \(x=\frac{144}{(12n\pm5)^2}\)
232 е	\(x=\frac{2}{\sqrt\pi(1+2n)},\ n\ne-\frac12\)	я потерял \(\sqrt\pi\)
237 в	\(x=\varnothing\)	решений нет
237 г	\(x=\pm\sqrt{\frac{6}{6n-1}}\)
237 д	\(x=\frac{16}{(4n+1)^2}\)
237 е	\(x=\frac{16}{\pi(4n-1)^2}\)

Остальное совпало: 228 (кроме ж), 233, 235, 238 — полностью; в 227 е моя запись с \(-\frac{\pi n}{2}\) эквивалентна книжной.

Отдельно: в 227 г книга пишет \(n\in\mathbb Z\), но если уравнение действительно \(\sin\frac{3\pi}{\sqrt x}=-1\), то подходит только \(n\ge1\): при \(n=0\) получается \(\sin=+1\).

Пришли крупно условия 227 в и 232 г — там ответы книги не сходятся с моим прочтением, разберу вывод именно книжного ответа.

Теперь условие видно чётко. Вот окончательные ответы по этой странице; углы в радианах, \(n,k,m\in\mathbb Z\).

№ 227

Пункт	Ответ
а)	\(x=(-1)^n\frac{4\pi}{9}+\frac{4\pi n}{3}\)
б)	\(x=\frac{12}{6n+(-1)^{n+1}}\)
в)	\(x=\pm\frac{2\sqrt2}{\sqrt{4n+1}},\quad n=0,1,2,\ldots\)
г)	\(x=\frac{36}{(4n-1)^2},\quad n=1,2,\ldots\)
д)	\(x=\frac{1}{\pi n^2},\quad n=1,2,\ldots\)
е)	\(x=\frac32+(-1)^n\frac{\pi}{8}-\frac{\pi n}{2}\)
ж)	\(x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\)
з)	нет решений
и)	\(x=(-1)^n\arcsin 0{,}1+\pi n\)

№ 228

Пункт	Ответ
а)	\(x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\)
б)	\(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n\)
в)	\(x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\)
г)	\(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\)
д)	\(x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n\)
е)	\(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\)
ж)	\(x=\pi k\) или \(x=(-1)^m\frac{\pi}{4}+\pi m\)

Где ключ может сбивать

227 б. Из уравнения \[ \frac{2\pi}{x}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \] получается \[ x=\frac{12}{6n+(-1)^{n+1}}. \] Если в ключе стоит \(6n+(-1)^n\), то при \(n=0\) выходит \(x=12\), но \[ \sin\frac{2\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12, \] а нужно \(-\frac12\). Поэтому правильный знак — \((-1)^{n+1}\), то есть \(6n-(-1)^n\).

227 г. Так как \[ \frac{3\pi}{\sqrt{x}}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \] то \[ \sqrt{x}=\frac{6}{4n-1}. \] Корень положителен, поэтому \(4n-1>0\), то есть \(n\ge1\). Если в ключе написано \(n\in\mathbb Z\), то при \(n\le0\) получается \(\sin\frac{3\pi}{\sqrt{x}}=+1\), а не \(-1\).

228 ж. Кроме серии \[ x=(-1)^m\frac{\pi}{4}+\pi m \] обязательно есть ещё \[ x=\pi k, \] потому что уравнение распадается на \(\sin x=0\) и \(2\sin x-\sqrt2=0\).

Если в ключе для 228 ж указана только одна серия, вторая просто потеряна.

По косинусу 232 г на этом фото условия нет — для него нужен отдельный кадр.