реши примеры
Сверь числа и знаки с фото.
11.7. Решите уравнение:
- \(\sqrt{10-3x}=-x\);
- \(x=\sqrt{x+5}+1\);
- \(\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2\);
Ответ:
- \(x=-5\);
- \(x=4\);
- \(x=0\).
Общий принцип. Уравнение с одним квадратным корнем удобно приводить к виду
\[ \sqrt{A}=B. \]
Оно равносильно системе
\[ B\ge 0,\qquad A=B^2. \]
Главное — правая часть должна быть неотрицательной. При возведении в квадрат могут появиться лишние корни, поэтому нужна проверка или учёт этого условия.
1) \(\sqrt{10-3x}=-x\)
Правая часть неотрицательна:
\[ -x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 0. \]
Возводим в квадрат:
\[ 10-3x=x^2, \]
\[ x^2+3x-10=0. \]
Корни:
\[ x_1=-5,\qquad x_2=2. \]
Условию \(x\le 0\) удовлетворяет только \(-5\).
Проверка:
\[ \sqrt{10-3\cdot(-5)}=\sqrt{25}=5=-(-5). \]
Ответ: \(x=-5\).
2) \(x=\sqrt{x+5}+1\)
Сначала уединим корень:
\[ x-1=\sqrt{x+5}. \]
Правая часть неотрицательна:
\[ x-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 1. \]
Возводим в квадрат:
\[ (x-1)^2=x+5, \]
\[ x^2-2x+1=x+5, \]
\[ x^2-3x-4=0. \]
Корни:
\[ x_1=4,\qquad x_2=-1. \]
Условию \(x\ge 1\) удовлетворяет только \(4\).
Проверка:
\[ 4=\sqrt{4+5}+1=3+1. \]
Ответ: \(x=4\).
3) \(\sqrt{2x^2+5x+4}=2x+2\)
Правая часть неотрицательна:
\[ 2x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -1. \]
Возводим в квадрат:
\[ 2x^2+5x+4=(2x+2)^2, \]
\[ 2x^2+5x+4=4x^2+8x+4. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 2x^2+3x=0, \]
\[ x(2x+3)=0. \]
Корни:
\[ x_1=0,\qquad x_2=-\frac{3}{2}. \]
Значение \(-\frac{3}{2}<-1\) не подходит. Остаётся \(0\).
Проверка:
\[ \sqrt{4}=2,\qquad 2\cdot 0+2=2. \]
Ответ: \(x=0\).
Итог:
\[
1)\ -5;\qquad 2)\ 4;\qquad 3)\ 0.
\]
Обсуждение
3 сообщенияРеши примеры
Реши примеры
Ответ:
4) \(x=-1\);
5) \(x=5\).
Оба уравнения решаются тем же приёмом из предыдущего задания: уединяем корень, требуем, чтобы правая часть была неотрицательной, и только потом возводим в квадрат.
4) \(3\sqrt{x+10}-11=2x\)
Уединяем корень:
\[ 3\sqrt{x+10}=2x+11. \]
Правая часть неотрицательна:
\[ 2x+11\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -5{,}5. \]
Возводим в квадрат:
\[ 9(x+10)=(2x+11)^2, \]
\[ 9x+90=4x^2+44x+121, \]
\[ 4x^2+35x+31=0. \]
Дискриминант:
\[ D=35^2-4\cdot 4\cdot 31=1225-496=729=27^2. \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{-35\pm 27}{8}, \]
\[ x_1=-1,\qquad x_2=-\frac{31}{4}=-7{,}75. \]
Условию \(x\ge -5{,}5\) удовлетворяет только \(-1\).
Проверка:
\[ 3\sqrt{9}-11=3\cdot 3-11=-2,\qquad 2\cdot(-1)=-2. \]
Ответ: \(x=-1\).
5) \(x-\sqrt{3x^2-11x-20}=5\)
Уединяем корень:
\[ x-5=\sqrt{3x^2-11x-20}. \]
Правая часть неотрицательна:
\[ x-5\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 5. \]
Возводим в квадрат:
\[ (x-5)^2=3x^2-11x-20, \]
\[ x^2-10x+25=3x^2-11x-20. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ 2x^2-x-45=0. \]
Дискриминант:
\[ D=1+4\cdot 2\cdot 45=361=19^2. \]
Корни:
\[ x_{1,2}=\frac{1\pm 19}{4}, \]
\[ x_1=5,\qquad x_2=-\frac{9}{2}=-4{,}5. \]
Условию \(x\ge 5\) удовлетворяет только \(5\).
Проверка:На фото — те же примеры 4 и 5, которые мы уже разбирали. Дописываю прерванную проверку и итог.
Проверка для 5): \(x=5\)
\[ 5-\sqrt{3\cdot 25-11\cdot 5-20}=5-\sqrt{75-55-20}=5-0=5. \]
Верно. Корень \(x=-\frac{9}{2}\) был отброшен, потому что при нём \(x-5<0\), а квадратный корень не может равняться отрицательному числу.
Итог по фото:
\[ 4)\ x=-1;\qquad 5)\ x=5. \]
Почему в 4) отбросили второй корень. После возведения в квадрат получились \(x=-1\) и \(x=-\frac{31}{4}\). Но уравнение \(3\sqrt{x+10}=2x+11\) требует \(2x+11\ge 0\), то есть \(x\ge -5{,}5\), а \(-7{,}75\) этому не удовлетворяет — это «лишний» корень от возведения в квадрат.
Та же схема работает для любого похожего уравнения: уединить корень → записать условие на неотрицательность другой части → возвести в квадрат → проверить корни по этому условию.
