номер 617
Сверь числа и знаки с фото.
617 Запиши все четырёхзначные числа, в разложение которых на простые множители входят одновременно 7, 11 и 13.
Краткий ответ:
\(1001,\ 2002,\ 3003,\ 4004,\ 5005,\ 6006,\ 7007,\ 8008,\ 9009\).
Как рассуждать:
Если в разложении числа одновременно есть простые множители \(7\), \(11\) и \(13\), то число делится на их произведение: \[ 7\cdot 11\cdot 13=1001. \]
Значит, подходящее число можно записать как \[ 1001k, \] где \(k\) — натуральное число. Дополнительные множители в \(k\) не мешают: \(7\), \(11\) и \(13\) всё равно остаются в разложении.
Нужны только четырёхзначные числа, то есть от \(1000\) до \(9999\): \[ 1001\cdot 1=1001, \] \[ 1001\cdot 9=9009, \] а уже \[ 1001\cdot 10=10010 \] пятизначное. Поэтому подходят \(k=1,2,\ldots,9\).
Подставляем: \[ 1001,\ 2002,\ 3003,\ 4004,\ 5005,\ 6006,\ 7007,\ 8008,\ 9009. \]
Проверка: например, \[ 9009=9\cdot1001=3^2\cdot7\cdot11\cdot13, \] поэтому \(7\), \(11\) и \(13\) действительно входят в разложение.
Обсуждение
2 сообщенияДай ещё пример с тремя простыми числами
Вот аналогичное задание:
Найди все четырёхзначные числа, в разложении на простые множители которых есть \(7\), \(11\) и \(17\).
Решение:
\[ 7\cdot 11\cdot 17=1309. \]
Значит, подходящие числа имеют вид \(1309k\). Они четырёхзначные при \(k=1,2,\ldots,7\), так как
\[ 1309\cdot 7=9163<9999,\qquad 1309\cdot 8=10472>9999. \]
Получаем:
\[ 1309,\ 2618,\ 3927,\ 5236,\ 6545,\ 7854,\ 9163. \]
Ответ: \(1309,\ 2618,\ 3927,\ 5236,\ 6545,\ 7854,\ 9163\).
Здесь, как и в №617, другие простые множители тоже могут входить в разложение.
