Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ: \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\).

Как это получается

1. Через теорему Виета. Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6. \]

Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Отсюда \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\).

2. Через дискриминант (этот способ работает всегда, даже когда корни не подбираются):

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1. \]

Так как \(D>0\), корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}, \] \[ x_{1}=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{5-1}{2}=2. \]

3. Через разложение на множители. Ищем числа, дающие в сумме \(5\) и в произведении \(6\), — это \(2\) и \(3\):

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0,\qquad 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]

Оба корня подходят.

Принцип для похожих заданий: у приведённого квадратного уравнения \(x^{2}+px+q=0\) корни ищутся как два числа с суммой \(-p\) и произведением \(q\); если подобрать трудно, считай дискриминант \(D=p^{2}-4q\). Если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.