Импульс тела. Закон сохранения импульса
Краткий ответ
Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость:
\[ \vec{p} = m\vec{v} \]
Закон сохранения импульса: если систему тел можно считать замкнутой (внешние силы отсутствуют или их действие пренебрежимо мало / уравновешено), то векторная сумма импульсов тел остаётся постоянной:
\[ m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{u}_1 + m_2\vec{u}_2 \]
где \(\vec{v}\) — скорости до взаимодействия, \(\vec{u}\) — после.
Что важно понять по шагам
1. Импульс — вектор. Единица измерения: \(1\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\). Направление \(\vec{p}\) всегда совпадает с направлением скорости \(\vec{v}\). Ноль импульса — только у покоящегося тела.
2. Вторая форма второго закона Ньютона. Импульс силы равен изменению импульса тела:
\[ \vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p} = m\vec{u} - m\vec{v} \]
Отсюда видно, почему при ударе важна не только сила, но и время её действия: та же сила за большее время даёт большее изменение импульса (так работают подушки безопасности, маты, амортизаторы).
3. Почему закон сохранения вообще работает. При взаимодействии двух тел силы по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению, а время действия одинаково. Значит, импульсы сил взаимно уничтожаются: сколько импульса одно тело отдало, столько другое получило. Сумма не меняется.
4. Когда закон применим. Систему считают замкнутой, если:
- внешних сил нет вовсе (или они скомпенсированы);
- взаимодействие кратковременное и очень сильное — удар, взрыв, выстрел, столкновение (за малое \(\Delta t\) внешние силы, например тяжести, не успевают заметно изменить импульс);
- вдоль выбранной оси проекция внешних сил равна нулю — тогда закон выполняется для проекций на эту ось.
5. Векторы складывают векторно. Импульсы, направленные в противоположные стороны, имеют разные знаки проекций. Это самая частая ошибка: складывают модули, а не проекции.
Пример с расчётом
Тележка массой \(m_1 = 2\) кг движется со скоростью \(v_1 = 3\) м/с и догоняет тележку \(m_2 = 4\) кг, едущую в ту же сторону со скоростью \(v_2 = 1\) м/с. При сцепке они движутся вместе. Найти общую скорость \(u\).
Шаг 1. Импульс до сцепки: \[ p_{\text{до}} = m_1v_1 + m_2v_2 = 2\cdot 3 + 4\cdot 1 = 10\ \text{кг}\cdot\text{м/с} \]
Шаг 2. Импульс после сцепки (общая масса \(m_1+m_2 = 6\) кг): \[ p_{\text{после}} = (m_1+m_2)\,u = 6u \]
Шаг 3. Приравниваем (удар кратковременный, трения о рельсы за это время не учитываем): \[ 6u = 10 \quad\Rightarrow\quad u = \frac{10}{6} \approx 1{,}7\ \text{м/с} \]
Проверка: импульс после сцепки \(6\cdot 1{,}67 \approx 10\ \text{кг}\cdot\text{м/с}\) — совпадает с импульсом до. И качественно результат разумен: скорость лежит между \(1\) и \(3\) м/с, ближе к скорости тяжёлой тележки.
Алгоритм для похожих задач
- Выбери систему тел и ось (или оси) координат.
- Запиши импульсы всех тел до взаимодействия с учётом знаков проекций.
- Запиши импульсы после — что известно, что неизвестно.
- Приравняй суммы и реши уравнение.
- Проверь размерность и правдоподобие ответа (скорость не должна «выпрыгивать» за пределы начальных скоростей при неупругом ударе).
Тот же закон объясняет реактивное движение: при выбросе газа массой \(m\) со скоростью \(v\) ракета массой \(M\) получает скорость \(V = \frac{mv}{M}\) в противоположную сторону — суммарный импульс системы «ракета + газ» остаётся нулевым.
