7.12. Сколько треугольников изображено на рисунке 20?

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
7.12. Сколько треугольников изображено на рисунке 20?

[Рисунок: треугольник ABC; вершина B вверху, A слева, C справа; на стороне AC слева направо отмечены точки D, E, F; из вершины B проведены отрезки BD, BE, BF.]

Задание 25. На рисунке изображены равные треугольники. Используя данные рисунка, составьте пары соответственно равных элементов.
2) △DEF = △D₁E₁F₁

[Рисунок: слева треугольник DEF: D — верхняя вершина, E — левая нижняя, F — правая нижняя; справа треугольник D₁E₁F₁: D₁ — верхняя вершина, E₁ — левая нижняя, F₁ — правая нижняя; на сторонах нанесены засечки, при углах — дуги (отметки равных элементов).]

ED = ___
EF = ___
DF = ___
∠DEF = ∠___
∠DFE = ∠___
∠EDF = ∠___

Заполните таблицу.
2) [Рисунок: треугольник PEF: P — верхняя вершина, E — левая нижняя, F — правая нижняя.]

вершина | противолежащая сторона | прилежащие стороны | угол при вершине
___ | ___ | ___ | ___
___ | ___ | ___ | ___
___ | ___ | ___ | ___

Answer

Кратко

7.12. На рисунке 10 треугольников.

Задание 25. Так как $\triangle DEF = \triangle D_{1}E_{1}F_{1}$, соответствующие элементы равны:

$$
ED = E_{1}D_{1},\qquad EF = E_{1}F_{1},\qquad DF = D_{1}F_{1};
$$
$$
\angle DEF = \angle D_{1}E_{1}F_{1},\qquad \angle DFE = \angle D_{1}F_{1}E_{1},\qquad \angle EDF = \angle E_{1}D_{1}F_{1}.
$$

Таблица для $\triangle PEF$:

вершина |
противолежащая сторона |
прилежащие стороны |
угол при вершине |

$P$ |
$EF$ |
$PE$ и $PF$ |
$\angle P$ |

$E$ |
$PF$ |
$EP$ и $EF$ |
$\angle E$ |

$F$ |
$PE$ |
$FE$ и $FP$ |
$\angle F$ |

Как это получается

7.12. Счёт треугольников

Любой треугольник на рисунке имеет вершину $B$, а его основанием служит отрезок, соединяющий две из пяти точек на прямой $AC$: $A, D, E, F, C$.

Число таких отрезков:
$$
\frac{5\cdot 4}{2}=10.
$$

Перечислим их по левому концу основания:

с точкой $A$: $ABD, ABE, ABF, ABC$ — 4;

с точкой $D$: $BDE, BDF, BDC$ — 3;

с точкой $E$: $BEF, BEC$ — 2;

с точкой $F$: $BFC$ — 1.

Итого $4+3+2+1=10$. Других треугольников быть не может: точки $A, D, E, F, C$ лежат на одной прямой, значит, треугольник без вершины $B$ не построить.

Общее правило: если на прямой отметить $n$ точек и взять точку вне её, получится $\frac{n(n-1)}{2}$ треугольников.

Задание 25. Порядок букв в записи равенства

В записи $\triangle DEF = \triangle D_{1}E_{1}F_{1}$ буквы идут в порядке соответствия:
$$
D \leftrightarrow D_{1},\qquad E \leftrightarrow E_{1},\qquad F \leftrightarrow F_{1}.
$$

Отсюда:

сторона $ED$ соединяет вершины $E$ и $D$, значит, ей соответствует сторона $E_{1}D_{1}$;

$EF$ соединяет $E$ и $F$, значит, ей соответствует $E_{1}F_{1}$;

$DF$ соединяет $D$ и $F$, значит, ей соответствует $D_{1}F_{1}$.

Угол называют тремя буквами, причём вершина стоит в середине. Например, у $\angle DEF$ вершина $E$, соседние вершины $D$ и $F$, поэтому соответствующий угол — $\angle D_{1}E_{1}F_{1}$ (вершина $E_{1}$, стороны идут к $D_{1}$ и $F_{1}$). Аналогично получаются два других угла.

Засечки на сторонах и дуги у углов на рисунке — это отметки равных элементов: одинаковые отметки ставят у равных сторон и углов.

Таблица для $\triangle PEF$

Правила заполнения:

противолежащая сторона для вершины — та сторона, которая не содержит эту вершину;

прилежащие стороны — стороны, которые выходят из этой вершины (содержат её);

угол при вершине — угол, у которого эта вершина является вершиной.

Например, для $E$: сторона $PF$ не содержит $E$ — она противолежащая; стороны $EP$ и $EF$ выходят из $E$ — они прилежащие; угол при вершине $E$ — это $\angle E$ (он же $\angle PEF$).

Проверка: в треугольнике $PEF$ три стороны: $PE$, $EF$, $FP$. В таблице каждая из них ровно один раз стоит в столбце «противолежащая сторона»: $EF$ против $P$, $PF$ против $E$, $PE$ против $F$. Значит, таблица заполнена без пропусков и повторов.

вершина	противолежащая сторона	прилежащие стороны	угол при вершине
\(P\)	\(EF\)	\(PE\) и \(PF\)	\(\angle P\)
\(E\)	\(PF\)	\(EP\) и \(EF\)	\(\angle E\)
\(F\)	\(PE\)	\(FE\) и \(FP\)	\(\angle F\)

7.12. Сколько треугольников изображено на рисунке 20?

Кратко

Как это получается

7.12. Счёт треугольников

Задание 25. Порядок букв в записи равенства

Таблица для \(\triangle PEF\)

Обсуждение