Номер 1117

По учебнику Атанасяна (7–9 класс) № 1117 обычно звучит так: «Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность».

Ответ: \(5\sqrt{3}\) см \(\approx 8{,}7\) см.

Как решается

1. Сторона правильного треугольника: \[ a_{3}=\frac{45}{3}=15\ \text{см}. \]

2. Радиус окружности. Общая формула стороны правильного \(n\)-угольника, вписанного в окружность радиуса \(R\): \[ a_n = 2R\sin\frac{180^\circ}{n}. \] Для треугольника: \(a_3 = 2R\sin 60^\circ = R\sqrt{3}\), значит \[ R=\frac{15}{\sqrt{3}}=5\sqrt{3}\ \text{см}. \]

3. Для шестиугольника: \(a_6 = 2R\sin 30^\circ = R\), то есть сторона вписанного шестиугольника равна радиусу: \[ a_6 = 5\sqrt{3}\ \text{см}\approx 8{,}7\ \text{см}. \]

Проверка: при \(R=5\sqrt{3}\) сторона треугольника \(R\sqrt{3}=15\) см, периметр \(45\) см — сходится.

Если в вашем издании под № 1117 другой текст (в переизданиях нумерация иногда сдвигается), пришлите фото условия — решу именно его.

Краткий ответ

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность: \(a_6 = R = 5\sqrt{3}\ \text{см} \approx 8{,}7\ \text{см}\).

Условие (Атанасян, № 1117)

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.

Чертежи

1) Треугольник вписан в окружность (дано)

              B
             / \
            /   \
           /  ·O  \        OA = OB = OC = R
          /   |    \
         A----+-----C      AB = BC = CA = 15 см

2) Шестиугольник вписан в ту же окружность (искомое)

           A-----B
          /       \
         F    ·O   C       AB = BC = ... = FA = R
          \       /
           E-----D

Оба чертежа удобно делать в одной окружности: вершины треугольника — это вершины шестиугольника, взятые через одну (\(A, C, E\)). Тогда видно, что \(a_3 = R\sqrt{3}\), а \(a_6 = R\).

Решение

Шаг 1. Сторона правильного треугольника: \[ a_3=\frac{P}{3}=\frac{45}{3}=15\ \text{см}. \]

Шаг 2. Связь стороны и радиуса. Хорда, стягивающая дугу \(\frac{360^\circ}{n}\), равна \(2R\sin\frac{180^\circ}{n}\): \[ a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}. \]

Шаг 3. Для треугольника \(n=3\): \[ 15=2R\sin 60^\circ=R\sqrt{3}\ \Rightarrow\ R=\frac{15}{\sqrt{3}}=5\sqrt{3}\ \text{см}. \]

Шаг 4. Для шестиугольника \(n=6\): \[ a_6=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\frac{1}{2}=R. \]

Значит, \[ a_6=R=5\sqrt{3}\ \text{см}\approx 8{,}7\ \text{см}. \]

Проверка

\(R=5\sqrt{3}\approx 8{,}66\) см. Сторона треугольника: \(R\sqrt{3}=5\cdot 3=15\) см, периметр \(3\cdot 15=45\) см — совпадает с условием. Сторона шестиугольника равна радиусу, то есть \(8{,}7\) см — шестиугольник «крупнее» треугольника по числу сторон, но его сторона меньше, это нормально: \(8{,}7<15\).

Как построить чертёж циркулем

1. Раствором циркуля \(R\approx 8{,}7\) см (или произвольным \(R\), если чертёж без масштаба) постройте окружность, отметьте центр \(O\).
2. Поставьте точку \(A\) на окружности и, не меняя раствора циркуля, откладывайте от неё по окружности хорды, равные \(R\): получите точки \(B, C, D, E, F\) — это шестиугольник (у правильного шестиугольника сторона равна радиусу).
3. Соедините \(A, C, E\) — получится правильный треугольник, вписанный в ту же окружность.
4. Отметьте радиусы \(OA\), \(OB\), \(OC\) и подпишите данные: \(AB=BC=CA=15\) см, \(OA=OB=OC=R\).