Реши 157,158

На фото задания 657 и 658 — решаю их (в запросе, видимо, опечатка в номерах).

Краткие ответы

657. \(x=4\), \(y=25\).

658.
а) \(EF=5\) см, \(FC=3{,}5\) см;
б) \(DE=\frac{40}{7}=5\frac57\) см, \(EC=\frac{16}{7}=2\frac27\) см.

---

657. Как понять

На рисунке 224 в каждой паре треугольники прямоугольные и имеют по равному острому углу. Значит, они подобны. У подобных треугольников соответствующие катеты пропорциональны.

Верхняя пара:

\[ \frac{8}{x}=\frac{12}{6} \]

\[ \frac{8}{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=4 \]

Нижняя пара:

\[ \frac{y}{10}=\frac{20}{8} \]

\[ \frac{y}{10}=2{,}5 \quad\Rightarrow\quad y=25 \]

Проверка: \(8:4=12:6=2\), \(25:10=20:8=2{,}5\).

---

658. Как понять

В параллелограмме \(ABCD\):

\[ AD=BC,\qquad AB=CD,\qquad AD\parallel BC. \]

Треугольники \(ADE\) и \(FCE\) подобны: при точке \(E\) углы вертикальные, а углы при параллельных \(AD\parallel BC\) равны. Поэтому соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{AD}{FC}=\frac{DE}{EC}=\frac{AE}{EF}. \]

а) \(DE=8\), \(EC=4\), \(BC=7\), \(AE=10\)

Так как \(AD=BC=7\), то

\[ \frac{DE}{EC}=\frac{8}{4}=2. \]

Значит,

\[ \frac{AD}{FC}=2 \]

\[ \frac{7}{FC}=2 \quad\Rightarrow\quad FC=3{,}5\text{ см}. \]

Далее:

\[ \frac{AE}{EF}=2 \]

\[ \frac{10}{EF}=2 \quad\Rightarrow\quad EF=5\text{ см}. \]

Ответ: \(EF=5\) см, \(FC=3{,}5\) см.

б) \(AB=8\), \(AD=5\), \(CF=2\)

Так как \(CD=AB=8\), то \(DE+EC=8\).

Из подобия:

\[ \frac{DE}{EC}=\frac{AD}{CF}=\frac{5}{2}. \]

Пусть \(DE=5t\), \(EC=2t\). Тогда

\[ 5t+2t=8 \]

\[ 7t=8 \]

\[ t=\frac{8}{7}. \]

Значит,

\[ DE=5\cdot\frac{8}{7}=\frac{40}{7}\text{ см}, \]

\[ EC=2\cdot\frac{8}{7}=\frac{16}{7}\text{ см}. \]

Ответ: \(DE=\frac{40}{7}=5\frac57\) см, \(EC=\frac{16}{7}=2\frac27\) см.