Реши 657,658
Сверь числа и знаки с фото.
657 По данным рисунка 224 найдите \(x\) и \(y\).
[Рисунок 224: две пары прямоугольных треугольников. В верхней паре у левого треугольника вертикальный катет \(8\), нижний горизонтальный катет \(12\); у правого — нижний горизонтальный катет \(6\), вертикальный катет \(x\); отмечены равные острые углы α. В нижней паре у левого треугольника вертикальный катет \(y\), нижний горизонтальный катет \(20\); у правого — гипотенуза \(10\) и нижний горизонтальный катет \(8\).]
658 На стороне \(CD\) параллелограмма \(ABCD\) отмечена точка \(E\). Прямые \(AE\) и \(BC\) пересекаются в точке \(F\). Найдите: а) \(EF\) и \(FC\), если \(DE = 8\) см, \(EC = 4\) см, \(BC = 7\) см, \(AE = 10\) см; б) \(DE\) и \(EC\), если \(AB = 8\) см, \(AD = 5\) см, \(CF = 2\) см.
Ответ: 657. \(x=9,\quad y=15\). 658. а) \(EF=5\) см, \(FC=3{,}5\) см; б) \(DE=\dfrac{40}{7}\) см, \(EC=\dfrac{16}{7}\) см.
657
На рисунке 224 в каждой паре — прямоугольные треугольники с равным острым углом, значит, они подобны.
Верхняя пара.
В левом треугольнике против угла \(\alpha\) лежит катет \(8\), а прилежащий катет равен \(12\). В правом треугольнике против \(\alpha\) лежит катет \(6\), прилежащий — \(x\). Поэтому:
\[
\frac{8}{6}=\frac{12}{x}
\]
\[
8x=72 \quad\Rightarrow\quad x=9.
\]
Нижняя пара.
У меньшего прямоугольного треугольника гипотенуза \(10\), катет \(8\), значит второй катет:
\[
\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6.
\]
Горизонтальный катет \(20\) большого треугольника соответствует катету \(8\), а вертикальный \(y\) — катету \(6\):
\[
\frac{20}{8}=\frac{y}{6}
\]
\[
y=\frac{20\cdot 6}{8}=15.
\]
658
Так как \(AD\parallel BC\), а точки \(A,E,F\) лежат на одной прямой, треугольники \(ADE\) и \(FCE\) подобны: \[ \triangle ADE\sim\triangle FCE. \] Отсюда: \[ \frac{AD}{CF}=\frac{DE}{CE}=\frac{AE}{EF}. \]
а)
\(AD=BC=7\) см, \(\dfrac{DE}{CE}=\dfrac{8}{4}=2\). Значит:
\[
\frac{AD}{CF}=2 \quad\Rightarrow\quad CF=\frac{7}{2}=3{,}5\text{ см}.
\]
Аналогично:
\[
\frac{AE}{EF}=2 \quad\Rightarrow\quad EF=\frac{10}{2}=5\text{ см}.
\]
б)
\[
\frac{AD}{CF}=\frac{5}{2},
\]
поэтому
\[
\frac{DE}{CE}=\frac{5}{2}.
\]
Пусть \(DE=5t\), \(CE=2t\). Тогда:
\[
5t+2t=CD=AB=8,
\]
\[
7t=8 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{8}{7}.
\]
Значит:
\[
DE=5\cdot\frac{8}{7}=\frac{40}{7}\text{ см},\qquad
EC=2\cdot\frac{8}{7}=\frac{16}{7}\text{ см}.
\]
Проверка:
657: \(\frac{8}{6}=\frac{12}{9}\), \(\frac{20}{8}=\frac{15}{6}\).
658: а) \(\frac{7}{3{,}5}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2\); б) \(\frac{5}{2}=\frac{40/7}{16/7}\).
Обсуждение
3 сообщенияРеши с дано найти решение
Ниже — оформление в виде «Дано — Найти — Решение».
№ 657
Дано:
На рисунке 224 изображены две пары прямоугольных треугольников с равными острыми углами.
В верхней паре катеты одного треугольника равны \(12\) и \(8\), другого — \(x\) и \(6\).
В нижней паре у меньшего треугольника гипотенуза \(10\) и катет \(8\), у большего — катеты \(20\) и \(y\).
Найти:
\(x,\ y\).
Решение:
Прямоугольные треугольники с равными острыми углами подобны.
Для верхней пары: \[ \frac{12}{x}=\frac{8}{6} \] \[ 8x=12\cdot 6 \] \[ 8x=72 \] \[ x=9 \]
Для нижней пары сначала найдём второй катет меньшего треугольника: \[ \sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6 \] Так как треугольники подобны, соответствующие катеты относятся одинаково: \[ \frac{20}{8}=\frac{y}{6} \] \[ y=\frac{20\cdot 6}{8}=15 \]
Ответ:
\[
x=9,\qquad y=15.
\]
№ 658
Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм, точка \(E\) лежит на стороне \(CD\), прямые \(AE\) и \(BC\) пересекаются в точке \(F\).
а)
\[
AD=BC=7\text{ см},\quad AE=10\text{ см},\quad DE=8\text{ см},\quad CE=4\text{ см}.
\]
б)
\[
AD=BC=5\text{ см},\quad AB=CD=8\text{ см},\quad CF=2\text{ см}.
\]
Найти:
а) \(EF\) и \(FC\);
б) \(DE\) и \(EC\).
Решение:
Так как \(AD\parallel BC\), а точки \(C,F\) лежат на прямой \(BC\), то \(AD\parallel FC\).
Углы при точке \(E\) вертикальные:
\[
\angle AED=\angle FEC.
\]
Значит,
\[
\triangle ADE\sim\triangle FCE.
\]
Из подобия:
\[
\frac{AD}{FC}=\frac{DE}{CE}=\frac{AE}{EF}.
\]
а)
По данным: \[ \frac{DE}{CE}=\frac{8}{4}=2. \] Следовательно, \[ \frac{AD}{FC}=2. \] Так как \(AD=7\) см: \[ \frac{7}{FC}=2 \] \[ FC=\frac{7}{2}=3{,}5\text{ см}. \]
Также \[ \frac{AE}{EF}=2. \] Поскольку \(AE=10\) см: \[ \frac{10}{EF}=2 \] \[ EF=5\text{ см}. \]
Ответ а): \[ EF=5\text{ см},\qquad FC=3{,}5\text{ см}. \]
б)
По подобию: \[ \frac{AD}{CF}=\frac{DE}{CE}. \] Так как \(AD=5\) см, \(CF=2\) см: \[ \frac{DE}{CE}=\frac{5}{2}. \]
Пусть \[ DE=5t,\qquad CE=2t. \] Тогда \[ DE+CE=CD. \] Но \(CD=AB=8\) см, поэтому: \[ 5t+2t=8 \] \[ 7t=8 \] \[ t=\frac{8}{7}. \] Значит, \[ DE=5t=5\cdot\frac{8}{7}=\frac{40}{7}\text{ см}, \] \[ CE=2t=2\cdot\frac{8}{7}=\frac{16}{7}\text{ см}. \]
Ответ б): \[ DE=\frac{40}{7}\text{ см},\qquad CE=\frac{16}{7}\text{ см}. \]
Итоговый ответ
657.
\[
x=9,\qquad y=15.
\]
658.
а) \(EF=5\) см, \(FC=3{,}5\) см;
б) \(DE=\dfrac{40}{7}\) см, \(CE=\dfrac{16}{7}\) см.
С чертежом
