151,152,153 столбиком считать как в тетради по действиям

Не вижу самих заданий 151–153. Пришли фото страницы или запиши примеры — тогда решу столбиком и распишу по действиям, как в тетради.

151

а)

1. \(\frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}\)
2. \(\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}\)

Ответ: \(\frac{2x+1}{2x-1}\)

---

б)

1. \(1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=-\frac{y}{1-y}\)
2. \(\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}=-\frac{5y}{1+y}\)

Ответ: \(-\frac{5y}{1+y}\)

---

в)

1. \(\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a^2+2a}{2-a}=-\frac{a(a+2)}{a-2}\)
2. \(-\frac{a(a+2)}{a-2}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a\)

Ответ: \(-a\)

---

г)

1. \(x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}=\frac{x(x-3)}{x-2}\)
2. \(\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(x-3)}{x-2}=x\)

Ответ: \(x\)

---

152

а)

1. \(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{4m^2-1}=\frac{8m}{4m^2-1}\)
2. \(\frac{8m}{4m^2-1}:\frac{4m}{10m-5}=\frac{8m}{4m^2-1}\cdot\frac{10m-5}{4m}=\frac{10}{2m+1}\)

Ответ: \(\frac{10}{2m+1}\)

---

б)

1. \(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}\)
2. \(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}\)

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\)

---

153

а)

1. \(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{12a^2+6}{a^2-9}=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\)
2. \(\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6\)

Ответ: \(6\)

---

б)

1. \(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\)
2. \(\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=10\)

Ответ: \(10\)

1. \(29595-6792-7-6639+332=16489\)

2. \(65956:16489=4\)

3. \(4\cdot 51=204\)

Ответ: 204

1. \(7204-6064=1140\)

2. \(54720:1140=48\)

3. \(15\cdot6653=99795\)

4. \(130-48+99918-99795=205\)

Ответ: 205

Да. По порядку:

\[ 130-54720:(7204-6064)+99918-15\cdot6653 \]

1. Действие в скобках: \[ 7204-6064=1140 \]

2. Деление: \[ 54720:1140=48 \]

3. Умножение: \[ 15\cdot6653=99795 \]

4. Вычитание: \[ 130-48=82 \]

5. Сложение: \[ 82+99918=100000 \]

6. Последнее вычитание: \[ 100000-99795=205 \]

Ответ: 205

Да, смогу. Показываю, что сокращается во втором действии.

151

а)

1. \(\frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}\)
2. \(\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{1+x}{2x-1}=\frac{2x+1}{2x-1}\) — сокращаем \(x+1\)

Ответ: \(\frac{2x+1}{2x-1}\)

---

б)

1. \(1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=-\frac{y}{1-y}\)
2. \(\frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}=-\frac{5y}{1+y}\) — сокращаем \(1-y\) и \(y\)

Ответ: \(-\frac{5y}{1+y}\)

---

в)

1. \(\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}\)
2. \(\frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-a\) — сокращаем \(a+2\), а \(a-2\) и \(2-a\) дают минус

Ответ: \(-a\)

---

г)

1. \(x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}\)
2. \(\frac{x-2}{x-3}\cdot\frac{x(3-x)}{2-x}=x\) — сокращаем \(3-x\) с \(x-3\), \(x-2\) с \(2-x\); два минуса дают плюс

Ответ: \(x\)

---

152

а)

1. \(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{4m^2-1}=\frac{8m}{4m^2-1}\)
2. \(\frac{8m}{4m^2-1}:\frac{4m}{10m-5}=\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{10}{2m+1}\) — сокращаем \(2m-1\) и \(4m\) с \(8m\)

Ответ: \(\frac{10}{2m+1}\)

---

б)

1. \(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}\)
2. \(\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}=\frac{2}{x-3}\) — сокращаем \(x^2+9\) и \(x+3\)

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\)

---

153

а)

1. \(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\)
2. \(\frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}=6\) — сокращаем \(a^2-9\) и \(2a^2+1\)

Ответ: \(6\)

---

б)

1. \(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\)
2. \(\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}=10\) — сокращаем \(x^2+y^2\) и \(x^2-25y^2\)

Ответ: \(10\)

Да. В тетради зачёркивай одинаковые множители в числителе и знаменателе. Вот где именно:

151

а)
\[ \frac{(2x+1)(1+x)}{(x+1)(2x-1)} \] Зачёркиваем \(1+x\) и \(x+1\). Остаётся: \[ \frac{2x+1}{2x-1} \]

б)
\[ \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y} \] Зачёркиваем \(1-y\); \(y^2\) и \(y\) сокращаем на \(y\). Остаётся: \[ -\frac{5y}{1+y} \]

в)
\[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \] Зачёркиваем \(a+2\). Также \(2-a=-(a-2)\), поэтому \(a-2\) и \(2-a\) зачёркиваем с минусом: \[ -a \]

г)
\[ \frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3} \] Зачёркиваем \(3-x\) с \(x-3\) и \(x-2\) с \(2-x\). Два минуса дают плюс: \[ x \]

152

а)
\[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m} \] Зачёркиваем \(2m-1\); \(8m\) и \(4m\) сокращаем на \(4m\): \[ \frac{10}{2m+1} \]

б)
\[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} \] Зачёркиваем \(x^2+9\) и \(x+3\): \[ \frac{2}{x-3} \]

153

а)
\[ \frac{a^2-9}{2a^2+1}\cdot\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} \] Зачёркиваем \(a^2-9\) и \(2a^2+1\): \[ 6 \]

б)
\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2} \] Зачёркиваем \(x^2+y^2\) и \(x^2-25y^2\): \[ 10 \]

Главное: зачёркивать можно только множители, а не отдельные слагаемые.

В тетради сокращения показывают так: выписываешь множители и перечёркиваешь одинаковые сверху и снизу (по диагонали). Вот полная запись:

151

а) 1) \(\frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}\)

2. \(\frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{1+x}{2x-1}\) — зачёркиваем \(x+1\) и \(1+x\): \[ =\frac{2x+1}{2x-1} \]

б) 1) \(1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y}\)

2. \(\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}\) — зачёркиваем \(1-y\); \(y^2\) и \(y\) (остаётся \(y\)): \[ =-\frac{5y}{1+y} \]

в) 1) \(\frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}\)

2. \(\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}\) — зачёркиваем \(a+2\); \(2-a=-(a-2)\): \[ =-a \]

г) 1) \(x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x}\)

2. \(\frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3}\) — зачёркиваем \(3-x\) с \(x-3\) (даёт минус) и \(x-2\) с \(2-x\) (ещё минус): \[ =x \]

152

а) 1) \(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{4m^2-1}=\frac{8m}{4m^2-1}\)

2. \(\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}\) — зачёркиваем \(2m-1\); \(8m\) и \(4m\) (остаётся 2): \[ =\frac{10}{2m+1} \]

б) 1) \(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}\)

2. \(\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x^2+9}\) — зачёркиваем \(x^2+9\) и \(x+3\): \[ =\frac{2}{x-3} \]

153

а) 1) \(\frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{12a^2+6}{a^2-9}=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\)

2. \(\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\cdot\frac{a^2-9}{2a^2+1}\) — зачёркиваем \(a^2-9\) и \(2a^2+1\): \[ =6 \]

б) 1) \(\frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\)

2. \(\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}:\frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}\) — зачёркиваем \(x^2+y^2\) и \(x^2-25y^2\): \[ =10 \]

Все сокращения — при допустимых значениях переменных (знаменатели не равны нулю).

Так — пишу пример, а сразу за ним действие с сокращением.

151

а) \[ \frac{x}{x+1}+1=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \] \[ \frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{1+x}{2x-1}\;\to\;\text{зачёркиваем } x+1 \text{ и } 1+x\;\to\;\frac{2x+1}{2x-1} \]

б) \[ 1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y} \] \[ \frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{-y}\;\to\;\text{зачёркиваем } 1-y,\ y^2 \text{ и } y\;\to\;-\frac{5y}{1+y} \]

в) \[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a} \] \[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}\;\to\;\text{зачёркиваем } a+2,\ (a-2) \text{ и } (2-a)\;\to\;-a \]

г) \[ x+\frac{x}{2-x}=\frac{2x-x^2+x}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x} \] \[ \frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3}\;\to\;\text{зачёркиваем } 3-x \text{ с } x-3,\ x-2 \text{ с } 2-x\;\to\;x \]

152

а) \[ \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{4m^2-1}=\frac{8m}{4m^2-1} \] \[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}\;\to\;\text{зачёркиваем } 2m-1,\ 8m \text{ и } 4m\;\to\;\frac{10}{2m+1} \]

б) \[ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9} \] \[ \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x^2+9}\;\to\;\text{зачёркиваем } x^2+9 \text{ и } x+3\;\to\;\frac{2}{x-3} \]

153

а) \[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{(6a+1)(a+3)+(6a-1)(a-3)}{a^2-9}=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} \] \[ \frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\cdot\frac{a^2-9}{2a^2+1}\;\to\;\text{зачёркиваем } a^2-9 \text{ и } 2a^2+1\;\to\;6 \]

б) \[ \frac{5x+y}{x-5y}+\frac{5x-y}{x+5y}=\frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \] \[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}\;\to\;\text{зачёркиваем } x^2+y^2 \text{ и } x^2-25y^2\;\to\;10 \]

Сокращать можно только множители, при допустимых значениях переменных.

Ок, объясню медленно и по шагам — на одном примере целиком.

Правило

Зачёркивать можно только множители — то, что умножено друг на друга (буква, число, скобка целиком). И только если одинаковый множитель стоит сверху и снизу.

Например, в \(\frac{x+3}{x+5}\) зачёркивать \(x\) нельзя — тут сверху и снизу не множители, а слагаемые.

151 а) — целиком, как в тетради

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{x}{x+1}+1=\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+1}=\frac{x+x+1}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1} \]

Шаг 2. Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь:

\[ \frac{2x+1}{x+1}\cdot\frac{1+x}{2x-1} \]

Шаг 3. Смотрим: сверху есть множитель \(1+x\), снизу есть \(x+1\). Это одно и то же число → вычёркиваем оба, они «уничтожаются».

Остаётся:

\[ \frac{2x+1}{2x-1} \]

Ответ: \(\frac{2x+1}{2x-1}\)

151 б) — где появляется минус

Шаг 1.

\[ 1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y}{1-y}-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y} \]

Шаг 2. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую:

\[ \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=-\frac{5y^2}{1-y^2}\cdot\frac{1-y}{y} \]

Шаг 3. Раскладываем \(1-y^2=(1-y)(1+y)\):

\[ -\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)}\cdot\frac{1-y}{y} \]

Шаг 4. Вычёркиваем:

• \(1-y\) сверху и \(1-y\) снизу — уходят;
• \(y^2\) сверху и \(y\) снизу — уходят, от \(y^2\) остаётся одна \(y\).

\[ -\frac{5y}{1+y} \]

Ответ: \(-\frac{5y}{1+y}\)

Дальше

В 151 в), г) и в 152, 153 всё точно так же: привели к общему знаменателю → деление перевернули в умножение → нашли одинаковые множители сверху и снизу → вычеркнули.

Скажи, и я разберу 151 в) и г) так же подробно — по шагам, без пропусков.

Да, всё верно понимаешь: от \(y^2\) остаётся одна \(y\), поэтому в ответе \(5y\), а не 5. Вот по действиям.

151 б) — по действиям

1) Считаем скобку: \[ 1-\frac{1}{1-y}=\frac{1-y-1}{1-y}=\frac{-y}{1-y} \]

2) Деление заменяем умножением на перевёрнутую дробь: \[ \frac{5y^2}{1-y^2}:\left(-\frac{y}{1-y}\right)=-\frac{5y^2}{1-y^2}\cdot\frac{1-y}{y} \]

3) Раскладываем \(1-y^2=(1-y)(1+y)\) и записываем одной дробью: \[ -\frac{5y^2\,(1-y)}{(1-y)(1+y)\,y} \]

4) Зачёркиваем:

• \(1-y\) сверху и \(1-y\) снизу — уходят полностью;
• \(y\) (из \(y^2\)) сверху и \(y\) снизу — уходит один \(y\), а второй \(y\) остаётся сверху.

5) Осталось: \[ -\frac{5y}{1+y} \]

Ответ: \(-\frac{5y}{1+y}\)

Почему остаётся \(y\)

\[ y^2=y\cdot y \]

Снизу стоит один \(y\) — он зачёркивает только один \(y\) сверху. Второй \(y\) зачёркивать не с чем, он остаётся в числителе рядом с 5.

Скажи, и разберу так же 151 в) и г).

Почти: \(a+2\) и \(a+2\) действительно зачёркиваются. А вот \(a-2\) и \(2-a\) — не одинаковые, они противоположные (одно равно минус другому). Поэтому их «зачёркиваем с минусом».

151 в) по действиям

1) Вычитание: \[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a^2+2a}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a} \]

2) Деление переворачиваем в умножение: \[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

3) Зачёркиваем:

• \(a+2\) сверху и \(a+2\) снизу — уходят полностью;
• остаётся \(\dfrac{a(a-2)}{2-a}\).

4) Теперь \(a-2\) и \(2-a\). Они не равны, а противоположны: \[ 2-a=-(a-2) \] Поэтому пара даёт \(-1\): \[ \frac{a-2}{2-a}=\frac{a-2}{-(a-2)}=-1 \]

5) Осталось: \[ a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

Как это выглядит в тетради

\[ \frac{a\cdot\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a+2)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{-(a-2)}=a\cdot(-1)=-a \]

То есть зачёркиваешь \(a+2\) (они одинаковые — просто уходят), а \(a-2\) с \(2-a\) зачёркиваешь и ставишь минус, потому что они противоположны. Так же и в 151 г), где встречаются \(3-x\) и \(x-3\).

Да, вот так выглядит запись по дробям:

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

Первая дробь: сверху \(a(a+2)\), снизу \(2-a\).
Вторая дробь: сверху \(a-2\), снизу \(a+2\).

Что с чем зачёркиваем:

1. \(a+2\) из первой дроби (сверху) ↔ \(a+2\) второй дроби (снизу) — одинаковые, зачёркиваем, уходят без следа.
2. \(2-a\) первой дроби (снизу) ↔ \(a-2\) второй дроби (сверху) — противоположные, зачёркиваем и ставим минус.

Как это пишется в тетради:

\[ \frac{a\cdot\cancel{(a+2)}}{\cancel{\color{red}{(2-a)}}}\cdot\frac{\cancel{\color{red}{(a-2)}}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Пояснение:

• \(a+2\) и \(a+2\) → просто исчезли;
• \(2-a\) и \(a-2\) → вместо них \(-1\), потому что \(2-a=-(a-2)\);
• от первой дроби сверху осталась только \(a\).

Ответ: \(-a\)

Да, вот так — по каждой дроби отдельно.

151

а) 1-я дробь: сверху \(2x+1\), снизу \(x+1\). 2-я дробь: сверху \(1+x\), снизу \(2x-1\). Зачёркиваем: \(x+1\) (снизу 1-й) и \(1+x\) (сверху 2-й). Остаётся: \(\frac{2x+1}{2x-1}\)

б) 1-я дробь: сверху \(5y^2\), снизу \((1-y)(1+y)\). 2-я дробь: сверху \(1-y\), снизу \(y\). Зачёркиваем: \(1-y\) (снизу 1-й) и \(1-y\) (сверху 2-й) — уходят; \(y\) из \(y^2\) (сверху 1-й) и \(y\) (снизу 2-й) — остаётся одна \(y\). Остаётся: \(-\frac{5y}{1+y}\)

в) 1-я дробь: сверху \(a(a+2)\), снизу \(2-a\). 2-я дробь: сверху \(a-2\), снизу \(a+2\). Зачёркиваем: \(a+2\) (сверху 1-й) и \(a+2\) (снизу 2-й) — уходят. Остаётся \(\frac{a(a-2)}{2-a}\). А \(a-2\) и \(2-a\) противоположны (\(2-a=-(a-2)\)) — зачёркиваем с минусом, дают \(-1\). Остаётся: \(-a\)

г) 1-я дробь: сверху \(x(3-x)\), снизу \(2-x\). 2-я дробь: сверху \(x-2\), снизу \(x-3\). Зачёркиваем: \(3-x\) (сверху 1-й) и \(x-3\) (снизу 2-й) — противоположны, минус; \(x-2\) (сверху 2-й) и \(2-x\) (снизу 1-й) — тоже противоположны, ещё минус. Два минуса — плюс. Остаётся: \(x\)

152

а) 1-я дробь: сверху \(8m\), снизу \((2m-1)(2m+1)\). 2-я дробь: сверху \(5(2m-1)\), снизу \(4m\). Зачёркиваем: \(2m-1\) (снизу 1-й) и \(2m-1\) (сверху 2-й); \(8m\) (сверху 1-й) и \(4m\) (снизу 2-й) — остаётся 2. Остаётся: \(\frac{2\cdot 5}{2m+1}=\frac{10}{2m+1}\)

б) 1-я дробь: сверху \(x+3\), снизу \(x^2+9\). 2-я дробь: сверху \(2(x^2+9)\), снизу \((x-3)(x+3)\). Зачёркиваем: \(x+3\) (сверху 1-й) и \(x+3\) (снизу 2-й); \(x^2+9\) (снизу 1-й) и \(x^2+9\) (сверху 2-й). Остаётся: \(\frac{2}{x-3}\)

153

а) 1-я дробь: сверху \(a^2-9\), снизу \(2a^2+1\). 2-я дробь: сверху \(6(2a^2+1)\), снизу \(a^2-9\). Зачёркиваем: \(a^2-9\) (сверху 1-й) и \(a^2-9\) (снизу 2-й); \(2a^2+1\) (снизу 1-й) и \(2a^2+1\) (сверху 2-й). Остаётся: \(6\)

б) 1-я дробь: сверху \(10(x^2+y^2)\), снизу \(x^2-25y^2\). 2-я дробь: сверху \(x^2-25y^2\), снизу \(x^2+y^2\). Зачёркиваем: \(x^2+y^2\) (сверху 1-й) и \(x^2+y^2\) (снизу 2-й); \(x^2-25y^2\) (снизу 1-й) и \(x^2-25y^2\) (сверху 2-й). Остаётся: \(10\)

151

а) \(x+1\) и \(1+x\)

б) \(1-y\) и \(1-y\); \(y\) из \(y^2\) и \(y\)

в) \(a+2\) и \(a+2\); \(2-a\) и \(a-2\) → \(-1\)

г) \(3-x\) и \(x-3\) → \(-1\); \(2-x\) и \(x-2\) → \(-1\)

152

а) \(2m-1\) и \(2m-1\); \(8m\) и \(4m\) → остаётся \(2\)

б) \(x+3\) и \(x+3\); \(x^2+9\) и \(x^2+9\)

153

а) \(a^2-9\) и \(a^2-9\); \(2a^2+1\) и \(2a^2+1\)

б) \(x^2+y^2\) и \(x^2+y^2\); \(x^2-25y^2\) и \(x^2-25y^2\)

151 в) Запись целиком:

\[ \frac{a\cdot(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

Зачёркиваешь две пары:

1. \(a+2\) сверху первой дроби и \(a+2\) снизу второй — одинаковые, просто уходят.
2. \(2-a\) снизу первой и \(a-2\) сверху второй — не одинаковые, а противоположные, поэтому зачёркиваешь и ставишь минус.

Как в тетради:

\[ \frac{a\cdot\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=-a \]

То есть: \(a+2\) и \(a+2\) вычеркнула — ничего не осталось. \(2-a\) и \(a-2\) вычеркнула — вместо них минус. От первой дроби осталась \(a\), от второй ничего.

\[ a\cdot(-1)=-a \]

Нет, отдельные двойки зачёркивать нельзя — они же не множители, а часть выражения \(a-2\).

Зачёркиваем всю скобку целиком:

\[ \cancel{(2-a)}\ \text{и}\ \cancel{(a-2)} \]

Потому что \(2-a\) и \(a-2\) — противоположные выражения (одно = минус другое):

\[ 2-a=-(a-2) \]

Поэтому пара \(2-a\) и \(a-2\) при сокращении даёт \(-1\), а не 1.

В тетради:

\[ \frac{a\cdot\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

Да, ровно так: после того как зачеркнули \(a+2\) и \(a+2\), остаётся всё остальное:

\[ \frac{a}{2-a}\cdot\frac{a-2}{1} \]

То есть остались \(a\), \(2-a\) и \(a-2\). Их не выкидываем — теперь зачёркиваем следующую пару:

\[ \frac{a}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{1} \]

Так как \(2-a=-(a-2)\), эта пара даёт \(-1\):

\[ a\cdot(-1)=-a \]

Итог: \(a+2\) и \(a+2\) зачеркнули → осталось \(a\), \(2-a\), \(a-2\). Потом зачеркнули \(2-a\) и \(a-2\) (с минусом) → осталось \(-a\).

Доп. множители пишутся над числителем в первом действии, когда приводим к общему знаменателю.

151

а) \(\frac{x}{x+1}+1\): над \(x\) — ничего; над \(1\) — \((x+1)\)

б) \(1-\frac{1}{1-y}\): над \(1\) — \((1-y)\); над \(1\) во второй — ничего

в) \(\frac{4a}{2-a}-a\): над \(4a\) — ничего; над \(a\) — \((2-a)\)

г) \(x+\frac{x}{2-x}\): над первым \(x\) — \((2-x)\); над \(x\) в дроби — ничего

152

а) над \(2m+1\) — \((2m+1)\); над \(2m-1\) — \((2m-1)\)

б) над \(x+3\) — \((x+3)\); над \(x-3\) — \((x-3)\)

153

а) над \(6a+1\) — \((a+3)\); над \(6a-1\) — \((a-3)\)

б) над \(5x+y\) — \((x+5y)\); над \(5x-y\) — \((x-5y)\)

Во втором действии (умножение или деление) доп. множители уже не пишут — только зачёркивание.

Нет, тут получается один минус, поэтому ответ \(-a\), а не \(a\).

Второе действие: \[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

1) Зачёркиваем \(a+2\) и \(a+2\) — они уходят: \[ \frac{a}{2-a}\cdot\frac{a-2}{1} \]

2) Теперь \(2-a\) и \(a-2\). Это не «два минуса», а один, потому что \[ 2-a=-(a-2) \] Поэтому \[ \frac{a-2}{2-a}=\frac{a-2}{-(a-2)}=-1 \]

3) Остаётся: \[ a\cdot(-1)=-a \]

В тетради: \[ \frac{a\cdot\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

Проверка числом: если \(a=1\), то \(4-1=3\), а \(3:\frac{3}{-1}=-1=-a\). Сходится.

Да, именно так — минус удобно вынести вперёд перед дробью. Вот полная запись в тетрадь.

151 в)

1-е действие (над \(a\) пишем доп. множитель \((2-a)\)):

\[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{4a-2a+a^2}{2-a}=\frac{a^2+2a}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a} \]

2-е действие (деление переворачиваем):

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

Записываем одной дробью и зачёркиваем \(a+2\):

\[ =\frac{a\,\cancel{(a+2)}\,(a-2)}{(2-a)\,\cancel{(a+2)}}=\frac{a(a-2)}{2-a} \]

Теперь \(2-a=-(a-2)\) — минус выносим вперёд:

\[ =-\frac{a\,\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}}=-a \]

Ответ: \(-a\)

Коротко в одну строку, как пишут в тетради:

\[ \frac{a\,\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Если нужно, так же распишу 151 г), 152 и 153 — с выносом минуса вперёд.

Хорошо, вот остальные — в том же виде: 1-е действие с доп. множителями, 2-е с выносом минуса вперёд и зачёркиванием.

151 г)

1-е действие (над первым \(x\) доп. множитель \((2-x)\)):

\[ x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{3x-x^2}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x} \]

2-е действие:

\[ \frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3}=-\frac{x\,\cancel{(x-3)}}{2-x}\cdot\frac{x-2}{\cancel{(x-3)}}=-\frac{x(x-2)}{2-x} \]

\(x-2=-(2-x)\), минус выносим:

\[ =-\frac{x\cdot\bigl(-(2-x)\bigr)}{\cancel{(2-x)}}=x \]

Ответ: \(x\)

152 а)

1-е действие (доп. множители \((2m+1)\) и \((2m-1)\)):

\[ \frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}=\frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{4m^2-1}=\frac{8m}{4m^2-1} \]

2-е действие (\(10m-5=5(2m-1)\)):

\[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot\frac{5(2m-1)}{4m}=\frac{8m\cdot 5\,\cancel{(2m-1)}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)\cdot 4m} \]

Сокращаем \(8m\) и \(4m\) на \(4m\):

\[ =\frac{2\cdot 5}{2m+1}=\frac{10}{2m+1} \]

Ответ: \(\frac{10}{2m+1}\)

152 б)

1-е действие (доп. множители \((x+3)\) и \((x-3)\)):

\[ \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9}=\frac{2x^2+18}{x^2-9}=\frac{2(x^2+9)}{x^2-9} \]

2-е действие:

\[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x+3)\cdot 2\,\cancel{(x^2+9)}}{\cancel{(x^2+9)}(x-3)(x+3)}=\frac{2\,\cancel{(x+3)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}}=\frac{2}{x-3} \]

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\)

153 а)

1-е действие (доп. множители \((a+3)\) и \((a-3)\)):

\[ \frac{6a+1}{a-3}+\frac{6a-1}{a+3}=\frac{6a^2+18a+a+3+6a^2-18a-a+3}{a^2-9}=\frac{12a^2+6}{a^2-9}=\frac{6(2a^2+1)}{a^2-9} \]

2-е действие:

\[ \frac{6(2a^2+1)}{a^2-9}\cdot\frac{a^2-9}{2a^2+1}=\frac{6\,\cancel{(2a^2+1)}\,\cancel{(a^2-9)}}{\cancel{(a^2-9)}\,\cancel{(2a^2+1)}}=6 \]

Ответ: \(6\)

153 б)

1-е действие (доп. множители \((x+5y)\) и \((x-5y)\)):

\[ \frac{(5x+y)(x+5y)+(5x-y)(x-5y)}{x^2-25y^2}=\frac{10x^2+10y^2}{x^2-25y^2}=\frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2} \]

2-е действие:

\[ \frac{10(x^2+y^2)}{x^2-25y^2}\cdot\frac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}=\frac{10\,\cancel{(x^2+y^2)}\,\cancel{(x^2-25y^2)}}{\cancel{(x^2-25y^2)}\,\cancel{(x^2+y^2)}}=10 \]

Ответ: \(10\)

Коротко — только ответы и что зачёркивать.

151

• а) \(x+1\) и \(1+x\) → \(\frac{2x+1}{2x-1}\)
• б) \(1-y\) и \(1-y\); \(y\) и \(y\) → \(-\frac{5y}{1+y}\)
• в) \(a+2\) и \(a+2\); \(2-a\) и \(a-2\) (минус) → \(-a\)
• г) \(3-x\) и \(x-3\); \(x-2\) и \(2-x\) → \(x\)

152

• а) \(2m-1\); \(8m\) и \(4m\) → \(\frac{10}{2m+1}\)
• б) \(x^2+9\); \(x+3\) → \(\frac{2}{x-3}\)

153

• а) \(a^2-9\); \(2a^2+1\) → \(6\)
• б) \(x^2+y^2\); \(x^2-25y^2\) → \(10\)

152 б), 2-е действие:

\[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} \]

Сокращаем две пары:

1. \(x^2+9\) снизу первой дроби и \(x^2+9\) сверху второй;
2. \(x+3\) сверху первой дроби и \(x+3\) снизу второй.

Остаётся: \[ \frac{2}{x-3} \]

Тут всё просто: \(x^2-9\) нужно разложить на множители, и тогда \(x+3\) найдёт себе пару.

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

Поэтому знаменатель второй дроби — это \((x-3)(x+3)\). Теперь смотри:

\[ \frac{\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x^2+9)}}\cdot\frac{2\cancel{(x^2+9)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}}=\frac{2}{x-3} \]

То есть:

• \(x^2+9\) сверху и снизу — ты уже зачеркнула, верно;
• \(x+3\) сверху и \(x+3\) из разложенного \(x^2-9\) — зачёркиваешь;
• остаётся \(2\) сверху и \(x-3\) снизу.

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\)

Главное: зачёркивать \(x+3\) можно только потому, что \(x^2-9\) разложили на \((x-3)(x+3)\).

\(x+3\) в первой дроби (сверху) сокращается с \(x+3\), который появился снизу после разложения \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

\[ \frac{\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x^2+9)}}\cdot\frac{2\cancel{(x^2+9)}}{(x-3)\cancel{(x+3)}}=\frac{2}{x-3} \]

То есть \(x+3\) сверху первой дроби и \(x+3\) снизу второй — зачёркиваешь, они уходят. Остаётся \(2\) сверху и \(x-3\) снизу.

Да, обязательно. В тетради это отдельной строкой перед сокращением:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3) \]

2-е действие 152 б):

\[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{x^2-9}=\frac{x+3}{x^2+9}\cdot\frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} \]

Зачёркиваем \(x^2+9\) и \(x^2+9\), \(x+3\) и \(x+3\):

\[ =\frac{2}{x-3} \]

Ответ: \(\frac{2}{x-3}\)

Так же раскладывать нужно в 152 а) (\(4m^2-1=(2m-1)(2m+1)\)), в 151 б) (\(1-y^2=(1-y)(1+y)\)), в 153 (\(a^2-9\), \(x^2-25y^2\)).

Да. Вот все места, где раскладываем, — это формула разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):

• 151 б): \(1-y^2=(1-y)(1+y)\)
• 152 а): \(4m^2-1=(2m-1)(2m+1)\)
• 152 б): \(x^2-9=(x-3)(x+3)\)
• 153 а): \(a^2-9=(a-3)(a+3)\)
• 153 б): \(x^2-25y^2=(x-5y)(x+5y)\)

Пиши разложение отдельной строкой до сокращения — тогда видно, с чем зачёркивать.

В 151 в) и г) разность квадратов не нужна — там другие формулы:

в)

• приведение к общему знаменателю: \(\frac{b}{c}\pm\frac{d}{c}=\frac{b\pm d}{c}\)
• деление дробей: \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\)
• вынесение минуса (противоположные выражения):

\[ 2-a=-(a-2),\qquad \frac{a-2}{2-a}=-1 \]

г)

• то же приведение к общему знаменателю и переворот при делении;
• дважды вынесение минуса:

\[ 3-x=-(x-3),\qquad x-2=-(2-x) \]

два минуса дают плюс: \((-1)\cdot(-1)=1\), поэтому ответ \(x\).

Записывай так: сначала строка «Формулы», потом действия.

151 в)

Формулы: \[ \frac{b}{c}\pm\frac{d}{c}=\frac{b\pm d}{c},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},\qquad 2-a=-(a-2) \]

1) \[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a^2+2a}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a} \]

2) Так как \(2-a=-(a-2)\): \[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=-\frac{a\,\cancel{(a+2)}\,\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}\,\cancel{(a+2)}}=-a \]

Ответ: \(-a\)

151 г)

Формулы: \[ \frac{b}{c}\pm\frac{d}{c}=\frac{b\pm d}{c},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c},\qquad 3-x=-(x-3),\quad x-2=-(2-x) \]

1) \[ x+\frac{x}{2-x}=\frac{x(2-x)+x}{2-x}=\frac{3x-x^2}{2-x}=\frac{x(3-x)}{2-x} \]

2) Два минуса дают плюс: \[ \frac{x(3-x)}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-3}=\frac{x\,\cancel{(x-3)}\,\cancel{(2-x)}}{\cancel{(2-x)}\,\cancel{(x-3)}}=x \]

Ответ: \(x\)

В том месте, где замазано белым (во втором действии), тебе нужно дописать переход от деления к умножению и вынос минуса.

Впиши туда вот это:

\[ = \frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2} = -\frac{a\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a-2)}} \cdot \frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}} = -a \]

Если места мало, можно записать короче, просто перевернув вторую дробь: \[ = \frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2} \] А рядом (или следующим шагом) показать, что \(2-a = -(a-2)\), поэтому остается \(-a\).

Впиши на место белого пятна:

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} = \frac{a(a-2)}{2-a} = -a \]

Если справа уже написано \(=-a\), то достаточно:

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} = \frac{a(a-2)}{2-a} \]

Потому что \(2-a=-(a-2)\), поэтому всё выражение равно \(-a\).

Допиши туда:

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=\frac{a(a-2)}{2-a}=-a \]

Всё, ответ \(-a\).Да, две пары:

1. \(a+2\) сверху и \(a+2\) снизу — уходят.
2. \(2-a\) снизу и \(a-2\) сверху — зачёркиваешь и ставишь минус, потому что \(2-a=-(a-2)\).

\[ \frac{a\,\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

\[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2}=\frac{a\,\cancel{(a+2)}\,\cancel{(a-2)}}{\cancel{(2-a)}\,\cancel{(a+2)}}=-a \]

Ответ: \(-a\)

Вот та же запись без зачёркиваний (LaTeX их не показывает):

\[ \frac{4a}{2-a}-a=\frac{4a-a(2-a)}{2-a}=\frac{a^2+2a}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}=\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} \]

Сокращаем \(a+2\) и \(a+2\); так как \(2-a=-(a-2)\), остаётся:

\[ =a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

Второе действие:

\[ \frac{a(a+2)}{2-a}:\frac{a+2}{a-2} =\frac{a(a+2)}{2-a}\cdot\frac{a-2}{a+2} =\frac{a(a-2)}{2-a} =-a \]

Ответ: \(-a\)

Зачёркиваешь две пары:

1. \(a+2\) сверху первой дроби и \(a+2\) снизу второй — одинаковые, уходят.
2. \(2-a\) снизу первой и \(a-2\) сверху второй — противоположные, зачёркиваешь и ставишь минус.

\[ \frac{a\,\cancel{(a+2)}}{\cancel{(2-a)}}\cdot\frac{\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a+2)}}=a\cdot(-1)=-a \]

Ответ: \(-a\)

Берём \(a=1\) (только для проверки, в ответе остаётся буква).

Как считается:

\[ \frac{4\cdot 1}{2-1}-1=\frac{4}{1}-1=3 \]

Второе действие:

\[ \frac{1(1+2)}{2-1}:\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{1}:\frac{3}{-1}=\frac{3}{1}\cdot\frac{-1}{3} \]

Что зачёркиваем цифрами: \(3\) сверху и \(3\) снизу:

\[ \frac{\cancel{3}}{1}\cdot\frac{-1}{\cancel{3}}=\frac{-1}{1}=-1 \]

Проверка: \(-1=-a\) при \(a=1\). Значит ответ \(-a\).

То есть зачёркиваем одинаковые числа: \(3\) и \(3\). А \(1\) и \(-1\) различаются знаком, поэтому одна \(1\) в знаменателе остаётся.