1. На рисунке 5 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α и параллельна EF.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. На рисунке 5 плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $EF$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна $EF$. В плоскости $\beta$ через точку $C$ проведите прямую так, чтобы она:

1. пересекала прямую $AB$;

2. была скрещивающейся с прямой $AB$;

3. была параллельна прямой $AB$.

[Рисунок: две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$; линия их пересечения — $EF$; в плоскости $\alpha$ проведена прямая $AB$, параллельная $EF$; в плоскости $\beta$ отмечена точка $C$.]
Рис. 5

2. На рисунке 6 $A_1C_1 = AC$, $A_1C_1 \parallel AC$, $A_1B_1 = AB$, $A_1B_1 \parallel AB$. Докажите, что $CC_1 \parallel BB_1$.

[Рисунок: четырёхугольник $A_1B_1BA$; внутри отмечена точка $C_1$, проведён отрезок $A_1C_1$; из $C_1$ вниз проведён отрезок $C_1C$, а из $A$ — отрезок $AC$; точка $C$ расположена ниже стороны $AB$.]
Рис. 6

Answer

На фото два номера — разберу оба.

1.

1. Такую прямую провести нельзя.

2. Нужно провести в плоскости $\beta$ через $C$ любую прямую, не параллельную $EF$, например через $C$ и любую точку $Q$ на прямой $EF$.

3. Нужно провести через $C$ в плоскости $\beta$ прямую, параллельную $EF$.

Почему:

Если бы прямая $l\subset\beta$ проходила через $C$ и пересекала $AB$ в точке $P$, то $P\in AB\subset\alpha$ и $P\in l\subset\beta$. Значит, $P\in\alpha\cap\beta=EF$. Но $AB\parallel EF$, поэтому $AB$ и $EF$ не пересекаются — противоречие. Пункт 1 невозможен.

В пункте 2 такая прямая $l$ не пересекает $AB$ по доказанному выше. Так как $l\not\parallel EF$, а $AB\parallel EF$, то $l\not\parallel AB$. Значит, $l$ и $AB$ не параллельны и не пересекаются, то есть они скрещивающиеся.

В пункте 3 через точку $C$ в плоскости $\beta$ проходит единственная прямая, параллельная $EF$. Поскольку $AB\parallel EF$, эта прямая параллельна и $AB$.

2.
Рассмотрим четырёхугольник $ACC_1A_1$. Его противоположные стороны $AC$ и $A_1C_1$ равны и параллельны, поэтому $ACC_1A_1$ — параллелограмм. Следовательно,
$$
CC_1\parallel AA_1.
$$

Аналогично из $AB=A_1B_1$ и $AB\parallel A_1B_1$ четырёхугольник $ABB_1A_1$ — параллелограмм, значит,
$$
BB_1\parallel AA_1.
$$

Обе прямые $CC_1$ и $BB_1$ параллельны одной и той же прямой $AA_1$, поэтому
$$
CC_1\parallel BB_1.
$$

Что и требовалось доказать.