Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1}=2,\ x_{2}=3\).

Как решать — шаг за шагом

Уравнение \(x^{2}-5x+6=0\) — обычное квадратное вида \(ax^{2}+bx+c=0\), где

\[a=1,\quad b=-5,\quad c=6.\]

Способ 1. Через дискриминант (работает всегда)

Считаем дискриминант:

\[D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1.\]

Так как \(D>0\), корней два, и они находятся по формуле

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}.\]

Отсюда

\[x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3.\]

Способ 2. По теореме Виета (быстрее, если коэффициент при \(x^{2}\) равен 1)

Для уравнения \(x^{2}+px+q=0\) корни удовлетворяют условиям

\[x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=q.\]

Здесь \(p=-5,\ q=6\), значит нужны два числа с суммой \(5\) и произведением \(6\). Это \(2\) и \(3\).

Проверка

Подставим корни в исходное уравнение:

\[2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0,\]

\[3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0.\]

Оба раза получился ноль — корни найдены верно.

Главная идея: дискриминант показывает, сколько корней у уравнения (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных корней), а формула даёт сами корни. Теорема Виета — удобная shortcut-проверка, когда уравнение приведённое.