Объясни способ под цифрой 2

Тогда корень получается неточным: число вычитаний даёт целую часть корня, а остаток показывает, насколько число больше её квадрата.

Пример: \(\sqrt{20}\). \(20-1=19,\ 19-3=16,\ 16-5=11,\ 11-7=4\). Следующее нечётное \(9\) уже больше \(4\) — останавливаемся.

4 вычитания \(\Rightarrow\) целая часть \(\sqrt{20}=4\), остаток \(4=20-4^2\). Значит \(4<\sqrt{20}<5\), т.е. \(\sqrt{20}\approx4{,}47\).

Важно: остаток всегда меньше следующего нечётного числа \(2n+1\), поэтому вычитания прекращаются однозначно.

Смотри, вся идея в одном равенстве:

\[ 1+3+5+7 = 16 = 4^2 \]

Квадрат — это сумма нечётных чисел. Поэтому если из числа вычитать по очереди \(1, 3, 5, 7, \dots\), то каждое вычитание — это «ещё один шаг» к корню.

Пример \(\sqrt{16}\):

• \(16-1=15\) (шаг 1)
• \(15-3=12\) (шаг 2)
• \(12-5=7\) (шаг 3)
• \(7-7=0\) (шаг 4)

Дошли до нуля — 4 шага — \(\sqrt{16}=4\).

Пример \(\sqrt{20}\):

• \(20-1=19\) (шаг 1)
• \(19-3=16\) (шаг 2)
• \(16-5=11\) (шаг 3)
• \(11-7=4\) (шаг 4)
• следующее нечётное \(9\), а у нас только \(4\) — вычитать нельзя, стоп.

4 шага — значит \(\sqrt{20}\) начинается с 4. А leftover \(4\) — это «хвостик»: \(20=16+4\). Значит корень чуть больше 4, но меньше 5 (потому что \(5^2=25\)).

Коротко: сколько раз вычел — такая целая часть; что осталось — насколько число больше этого квадрата.

Скажи, на каком именно шаге непонятно — на «почему нечётные» или на «почему остаток значит, что корень не целый»?

Остаток в корень не пишется — он остаётся отдельно. В тетради оформляют так:

\[ \sqrt{20}: \quad 4 \text{ вычитания} \Rightarrow \text{целая часть } 4, \quad \text{остаток } 4. \]

Проверка: \(4^2+4=16+4=20\) — сходится.

Дальше три варианта, зависит от задания:

• Нужен только целый корень — пишем \(\sqrt{20}\approx 4\) (с недостатком), остаток просто отбрасываем.
• Нужно показать, что корень не целый — пишем двойное неравенство: \(4<\sqrt{20}<5\), т.к. \(4^2=20-4\), а следующее нечётное \(9>4\).
• Нужно приближение — остаток идёт в оценку: \(\sqrt{a^2+r}\approx a+\dfrac{r}{2a}\), то есть \(\sqrt{20}\approx 4+\dfrac{4}{8}=4{,}5\).

То есть остаток — это не «хвост деления», а подсказка: насколько число больше квадрата целой части. В сам ответ-корень он не входит.

Скажи, что требует учитель — только целую часть или приближение, — и я покажу нужную запись.