Определи градусную меру углов, образованных прямыми в кубе ABCDA1B1C1D1.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\); нижнее основание \(ABCD\), верхнее \(A_1B_1C_1D_1\); невидимые рёбра \(AB\), \(BC\), \(BB_1\) показаны штриховыми линиями.] Определи градусную меру углов, образованных прямыми в кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выбери верные варианты из списка. \[\angle(B_1C; A_1B)=\underline{\phantom{000}}\] \[\angle(A_1C_1; DC)=\underline{\phantom{000}}\] \[\angle(C_1D_1; AD)=\underline{\phantom{000}}\] \[\angle(AD; B_1C_1)=\underline{\phantom{000}}\] Список вариантов: 0 градусов, 30 градусов, 45 градусов, 60 градусов. [Список прокручивается.]
Краткий ответ: \[ \angle(B_1C;A_1B)=60^\circ,\qquad \angle(A_1C_1;DC)=45^\circ, \] \[ \angle(C_1D_1;AD)=90^\circ,\qquad \angle(AD;B_1C_1)=0^\circ. \]
Как рассуждать
Угол между прямыми находят через угол между их направляющими векторами: \[ \cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}. \] Модуль нужен потому, что у прямых нет направления. Угол между параллельными прямыми равен \(0^\circ\).
Пусть ребро куба равно \(a\). Расположим координаты так: \[ A(0,0,0),\ B(0,a,0),\ C(a,a,0),\ D(a,0,0), \] \[ A_1(0,0,a),\ B_1(0,a,a),\ C_1(a,a,a),\ D_1(a,0,a). \]
| Прямые | Направляющие векторы | \(\vec u\cdot\vec v\) | \(\cos\varphi\) | Угол |
|---|---|---|---|---|
| \(B_1C\) и \(A_1B\) | \((a,0,-a)\) и \((0,a,-a)\) | \(a^2\) | \(\frac12\) | \(60^\circ\) |
| \(A_1C_1\) и \(DC\) | \((a,a,0)\) и \((0,a,0)\) | \(a^2\) | \(\frac{1}{\sqrt2}\) | \(45^\circ\) |
| \(C_1D_1\) и \(AD\) | \((0,-a,0)\) и \((a,0,0)\) | \(0\) | \(0\) | \(90^\circ\) |
| \(AD\) и \(B_1C_1\) | \((a,0,0)\) и \((a,0,0)\) | \(a^2\) | \(1\) | \(0^\circ\) |
Проверка по кубу:
- \(A_1B\parallel D_1C\), а треугольник \(B_1CD_1\) равносторонний, поэтому угол \(60^\circ\).
- \(DC\parallel D_1C_1\), а диагональ квадрата образует с его стороной \(45^\circ\).
- \(AD\parallel A_1D_1\), а \(C_1D_1\perp A_1D_1\), значит \(90^\circ\).
- \(AD\parallel B_1C_1\), значит прямые параллельны: \(0^\circ\).
Если в выпадающем списке не видно \(90^\circ\), прокрути список вниз.
