673 Найди наибольший общий делитель чисел методом разложения на простые множители: 1) 520 и 468; 2) 814 и 4400; 3) 855 и 11 400; 4) 40, 100 и 180.

Кратко:

1. \(52\);
2. \(22\);
3. \(285\);
4. \(20\).

Как действовать

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выбрать простые множители, которые есть в разложении каждого числа.
3. Каждый такой множитель взять в наименьшей степени, с какой он встречается.
4. Перемножить выбранные множители.

Если, например, в одном числе есть \(2^3\), а в другом \(2^2\), то в НОД войдёт только \(2^2\): больше двоек общий делитель содержать не может.

Решение

1. \[ 520=2^3\cdot5\cdot13,\qquad 468=2^2\cdot3^2\cdot13 \] Общие множители — \(2\) и \(13\), причём двойку берём во второй степени: \[ \gcd(520,468)=2^2\cdot13=52 \]

2. \[ 814=2\cdot11\cdot37,\qquad 4400=2^4\cdot5^2\cdot11 \] Общие множители — \(2\) и \(11\): \[ \gcd(814,4400)=2\cdot11=22 \]

3. \[ 855=3^2\cdot5\cdot19,\qquad 11400=2^3\cdot3\cdot5^2\cdot19 \] Общие множители — \(3\), \(5\) и \(19\): \[ \gcd(855,11400)=3\cdot5\cdot19=285 \]

4. \[ 40=2^3\cdot5,\qquad 100=2^2\cdot5^2,\qquad 180=2^2\cdot3^2\cdot5 \] Общие множители — \(2^2\) и \(5\): \[ \gcd(40,100,180)=2^2\cdot5=20 \]

Проверка

\(520:52=10\), \(468:52=9\);

\(814:22=37\), \(4400:22=200\);

\(855:285=3\), \(11400:285=40\);

\(40:20=2\), \(100:20=5\), \(180:20=9\).

Везде получились целые числа, значит НОД найден верно.