1. На рисунке 5 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α и параллельна EF. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. На рисунке 5 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α и параллельна EF. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она:

1. пересекала прямую AB;

2. была скрещивающейся с прямой AB;

3. была параллельна прямой AB.
[Рисунок 5: две пересекающиеся плоскости α (слева) и β (справа); их линия пересечения — прямая EF; в плоскости α проведена прямая AB, параллельная EF; в плоскости β отмечена точка C.]

2. На рисунке 6 $A_1C_1 = AC$, $A_1C_1 \parallel AC$, $A_1B_1 = AB$, $A_1B_1 \parallel AB$. Докажите, что $CC_1 \parallel BB_1$.
[Рисунок 6: четырёхугольник $A_1B_1BA$; $A_1$ — верхняя левая вершина, $B_1$ — верхняя правая, $A$ — нижняя левая, $B$ — нижняя правая; проведён отрезок $A_1C_1$ к точке $C_1$ внутри четырёхугольника; из $C_1$ вниз проведён отрезок к точке $C$; точка $C$ соединена отрезком с $A$.]

Answer

На фото два номера — я разобрал оба.

1

Коротко:

1. такую прямую провести нельзя;

2. подойдёт любая прямая через $C$ в плоскости $\beta$, не параллельная $EF$;

3. через $C$ в плоскости $\beta$ надо провести прямую, параллельную $EF$.

Почему. Так как $AB\parallel EF$, а $EF\subset\beta$, прямая $AB$ параллельна плоскости $\beta$. Значит, $AB$ не имеет общих точек с $\beta$:
$$
AB\cap\beta=\varnothing.
$$

1. Если бы прямая $l\subset\beta$ пересекала $AB$ в точке $D$, то $D$ лежала бы в $\beta$. Но $D\in AB$, а $AB$ не пересекает $\beta$. Противоречие — пункт 1 невозможен.

2. Через $C$ в $\beta$ проводим прямую $l$, не параллельную $EF$. Тогда $l$ не параллельна $AB$, иначе была бы параллельна $EF$. Общих точек с $AB$ у неё нет, так как $l\subset\beta$. Значит, $l$ и $AB$ скрещиваются.

3. Через $C$ в $\beta$ проводим $m\parallel EF$. Тогда $m\parallel AB$, потому что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

2

Доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник $A_1B_1BA$. Его противоположные стороны $A_1B_1$ и $AB$ равны и параллельны:
$$
A_1B_1=AB,\qquad A_1B_1\parallel AB.
$$
По признаку параллелограмма это параллелограмм, поэтому
$$
AA_1\parallel BB_1.
$$

Аналогично для четырёхугольника $A_1C_1CA$:
$$
A_1C_1=AC,\qquad A_1C_1\parallel AC,
$$
значит, это параллелограмм, откуда
$$
AA_1\parallel CC_1.
$$

Итак,
$$
BB_1\parallel AA_1,\qquad CC_1\parallel AA_1.
$$
Следовательно,
$$
CC_1\parallel BB_1,
$$
что и требовалось доказать.