239. Упростите выражение: а) (a² + ax + ab + bx)/(a² − ax − ab + bx) · (a² − ax − bx + ab)/(a² + ax − bx − ab);

Решаю задание 239, пункты а и б.

Краткий ответ

а) \[ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}; \]

б) \[ \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2}. \]

При допустимых значениях переменных: а) \(a\ne b,\ x\ne \pm a\); б) \(x\ne \pm a,\ x\ne \pm b\).

Как понять решение

Главный приём здесь — группировка: собираем слагаемые так, чтобы после вынесения общего множителя появилась одинаковая скобка, а потом сокращаем её. В пункте б ещё заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь.

а) Раскладываем на множители:

\[ a^2+ax+ab+bx=(a+b)(a+x), \]

\[ a^2-ax-ab+bx=(a-b)(a-x), \]

\[ a^2-ax-bx+ab=(a+b)(a-x), \]

\[ a^2+ax-bx-ab=(a-b)(a+x). \]

Подставляем:

\[ \frac{(a+b)(a+x)}{(a-b)(a-x)} \cdot \frac{(a+b)(a-x)}{(a-b)(a+x)} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}. \]

б) Аналогично:

\[ x^2-bx+ax-ab=(x+a)(x-b), \]

\[ x^2+bx-ax-ab=(x-a)(x+b), \]

\[ x^2+bx+ax+ab=(x+a)(x+b), \]

\[ x^2-bx-ax+ab=(x-a)(x-b). \]

Тогда

\[ \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} : \frac{(x+a)(x+b)}{(x-a)(x-b)} = \]

\[ = \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} \cdot \frac{(x-a)(x-b)}{(x+a)(x+b)} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2}. \]

Проверка. При \(a=2,\ b=1,\ x=3\): в пункте а обе части дают \(9\), в пункте б — \(\frac14\). Сокращения выполнены верно.