a) 2x² + 12x - 14

По фото уравнение такое: \(x^2+12x-14=0\).

Ответ: \[ x_{1,2}=-6\pm 5\sqrt{2} \] (\(x_1\approx 1{,}07\), \(x_2\approx -13{,}07\))

Ход решения: \[ D=12^2-4\cdot 1\cdot(-14)=144+56=200 \] \[ x_{1,2}=\frac{-12\pm\sqrt{200}}{2}=\frac{-12\pm 10\sqrt{2}}{2}=-6\pm 5\sqrt{2} \]

Где ошибка в тетради: там записано \(D=56\) — это только \(4\cdot14\), а \(144\) прибавить забыли. Поэтому дальше и появился \(\sqrt{56}\), а брать нужно корень из \(200\). Кстати, \(\sqrt{56}\) тоже не извлекается нацело, так что считать было бы неудобно.

Проверка (по теореме Виета): \(x_1+x_2=-12\) — совпадает с \(-b\); \(x_1x_2=36-50=-14\) — совпадает со свободным членом. Значит, корни верные.

Общий приём: сначала аккуратно считаешь \(D=b^2-4ac\) целиком (оба слагаемых!), потом упрощаешь \(\sqrt{D}\), и только потом делишь на \(2a\).

Рад, что сошлось! Ошибка была именно в первом шаге: \(D=b^2-4ac\), а там два слагаемых — \(144\) и \(56\), их и надо сложить. Дальше всё пойдёт само.

Если захочешь, дам пару похожих уравнений для тренировки — просто скажи.

Смотри, это два кусочка формулы \(D=b^2-4ac\). Подставляем \(a=1,\ b=12,\ c=-14\):

1. \(b^2=12^2=12\cdot12=144\) — это первое число.
2. \(4ac=4\cdot1\cdot(-14)=-56\) — вот тут появляется 56 (со знаком минус!).

Теперь собираем дискриминант целиком, ничего не теряя: \[ D=b^2-4ac=144-(-56)=144+56=200. \]

Минус перед \(4ac\) и минус внутри \(4ac\) дают плюс — поэтому \(144\) и \(56\) складываются. Дальше \(\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt{2}\), и \[ x_{1,2}=\frac{-12\pm10\sqrt{2}}{2}=-6\pm5\sqrt{2}. \]

То есть 56 — это не отдельное число из условия, а \(|4ac|\). Если бы \(c\) было положительным, например \(c=14\), то \(4ac=56\) и \(D=144-56=88\) — тогда действительно вычитали бы.

Тогда это ровно то уравнение, что было на фото сверху: \(2x^2+12x-14=0\). Подставляем \(a=2,\ b=12,\ c=-14\):

1. \(b^2=12^2=144\) — не меняется, \(b\) тот же.
2. \(4ac=4\cdot2\cdot(-14)=-112\) — теперь из-за \(a=2\) это \(-112\), а не \(-56\).

Собираем дискриминант: \[ D=144-(-112)=144+112=256. \] Снова «минус на минус» — поэтому складываем.

Корень извлекается нацело: \(\sqrt{256}=16\). Тогда \[ x_{1,2}=\frac{-12\pm16}{2\cdot2}=\frac{-12\pm16}{4}, \] \[ x_1=\frac{4}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-28}{4}=-7. \]

Проверка: \(x_1+x_2=-6=-\frac{b}{a}\), \(x_1x_2=-7=\frac{c}{a}\). Верно.

Смысл: \(a\) увеличился вдвое — и \(4ac\) вырос вдвое (с 56 до 112), поэтому дискриминант стал больше. А корни при этом получились целыми, потому что 256 — полный квадрат.

\(\sqrt{136}\) нацело не извлекается, но упростить можно: \[ 136=4\cdot34 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{136}=2\sqrt{34}\approx 11{,}66. \]

Только уточни: 136 — это у тебя получился дискриминант или само уравнение другое? Если \(D=136\), то корни будут «некрасивыми»: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm2\sqrt{34}}{2a}. \] Например, для \(x^2+12x+2=0\): \(D=144-8=136\), и \(x=-6\pm\sqrt{34}\).

Если же ты решал \(x^2+12x-14=0\), там \(D=200\), а не 136 — значит, где-то потерялось слагаемое. Пришли уравнение или фото, и я проверю подстановку.

Посмотрел твою запись. Уравнение и выписанные коэффициенты верны:

\[ a=2,\quad b=12,\quad c=-14,\qquad 2x^2+12x-14=0. \]

Ошибка ровно в одной строке — там, где получилось \(D=136\).

Что произошло. В формуле \(D=b^2-4ac\) ты начал подставлять верно: \[ D=12^2-4\cdot2\cdot(-14)=144-(\ldots) \] Но \(4\cdot2\cdot(-14)=-112\), а не \(-8\). Судя по ответу, \(4\cdot2=8\) посчитал, а умножить ещё на \(c=-14\) забыл: \(144-8=136\). Отсюда и \(\sqrt{136}\), который не извлекается.

Как должно быть: \[ D=144-(-112)=144+112=256,\qquad \sqrt{D}=16. \] \[ x_{1,2}=\frac{-12\pm16}{2\cdot2}=\frac{-12\pm16}{4}. \] \[ x_1=\frac{4}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-28}{4}=-7. \]

Проверка подстановкой (быстрый способ поймать ошибку): \(x=1\): \[ 2\cdot1^2+12\cdot1-14=2+12-14=0. \] Сходится, значит корень верный. С \(D=136\) корни были бы \(x=\frac{-6\pm\sqrt{34}}{2}\), и единица уравнению бы не подошла — проверка сразу бы это показала.

Так что твоя запись почти правильная, только в одном месте потерялся множитель \(-14\).

Задание 62 — разложить квадратный трёхчлен на множители. Общий приём: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\). Иногда проще заметить формулу полного квадрата.

а) \(2x^2+12x-14\) — это ровно наше уравнение с фото. Корни уже нашли: \(x_1=1,\ x_2=-7\). \[ 2x^2+12x-14=2(x-1)(x+7) \]

б) \(-9x^2+12x-4\). Вынесем минус и узнаем полный квадрат: \[ -9x^2+12x-4=-(9x^2-12x+4)=-(3x-2)^2 \]

в) \(16a^2+24a+9=(4a+3)^2\)

г) \(0{,}25m^2-2m+4=(0{,}5m-2)^2\)

Проверка (раскрываем скобки обратно):

• \(2(x-1)(x+7)=2(x^2+6x-7)=2x^2+12x-14\) ✓
• \(-(3x-2)^2=-(9x^2-12x+4)=-9x^2+12x-4\) ✓
• \((4a+3)^2=16a^2+24a+9\) ✓
• \((0{,}5m-2)^2=0{,}25m^2-2\cdot0{,}5m\cdot2+4=0{,}25m^2-2m+4\) ✓

Как видишь, в пунктах б)–г) дискриминант получается равным нулю — корень один, поэтому и выходит квадрат двучлена. А в пункте а) корней два, поэтому два разных множителя.

Хорошо, решаю по твоему образцу — через дискриминант и формулу \(a(x-x_1)(x-x_2)\).

1) \(2x^2+7x-4\) — у тебя решено верно, только проверю: \[ D=7^2-4\cdot2\cdot(-4)=49+32=81,\quad \sqrt{D}=9. \] \[ x_1=\frac{-7+9}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad x_2=\frac{-7-9}{4}=\frac{-16}{4}=-4. \] \[ 2x^2+7x-4=2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+4)=(2x-1)(x+4). \] Всё сходится.

2) \(-4x^2+24x-36\) — здесь ошибка только в последней строке. Дискриминант ты посчитал правильно: \[ D=24^2-4\cdot(-4)\cdot(-36)=576-576=0. \] Корень один: \[ x=\frac{-24}{2\cdot(-4)}=\frac{-24}{-8}=3. \] При \(D=0\) формула даёт \(a(x-x_1)^2\), то есть два одинаковых множителя: \[ -4x^2+24x-36=-4(x-3)(x-3)=-4(x-3)^2. \] У тебя было записано \(-4(x-3)(x+3)\). Но \((x-3)(x+3)=x^2-9\), и при раскрытии получился бы свободный член \(+36\), а нужно \(-36\). Поэтому второй множитель тоже \((x-3)\). Проверка: \[ -4(x-3)^2=-4(x^2-6x+9)=-4x^2+24x-36. \] Сходится.

3) \(3x^2-24x+21\) (№ 60 а) — продолжаю с того места, где ты остановился: \[ D=(-24)^2-4\cdot3\cdot21=576-252=324,\qquad \sqrt{D}=18. \] \[ x_1=\frac{24+18}{2\cdot3}=\frac{42}{6}=7,\qquad x_2=\frac{24-18}{6}=\frac{6}{6}=1. \] Тогда: \[ 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1). \] Проверка: \(3(x^2-8x+7)=3x^2-24x+21\). Верно.

Если в № 60 есть пункты б), в), г) — пришли их, решим так же.

Я не вижу в этом сообщении фото номера 62 — вижу только текст. Поэтому не могу угадать, какие именно пункты и какой образец оформления в тетради.

Пришли, пожалуйста, фото страницы с номером 62 (или назови его пункты) — и я оформлю решение строка в строку по твоему образцу: коэффициенты, дискриминант, корни, разложение.

По фото №62 — это четыре трёхчлена: а) \(2x^2+12x-14\); б) \(-m^2+5m-6\); в) \(3x^2+5x-2\); г) \(6x^2-13x+6\).

Сразу поправка к моему прошлому ответу: \(-9x^2+12x-4\), \(16a^2+24a+9\) и \(0{,}25m^2-2m+4\) — это номера из 61, а не из 62. Я тогда ошибся при чтении, дальше решаю именно 62.

а) \(2x^2+12x-14\) \[ a=2,\ b=12,\ c=-14;\qquad D=144-4\cdot2\cdot(-14)=144+112=256,\ \sqrt{D}=16. \] \[ x_1=\frac{-12+16}{4}=1,\qquad x_2=\frac{-12-16}{4}=-7. \] \[ 2x^2+12x-14=2(x-1)(x+7). \]

б) \(-m^2+5m-6\) (переменная \(m\)) \[ a=-1,\ b=5,\ c=-6;\qquad D=25-4\cdot(-1)\cdot(-6)=25-24=1,\ \sqrt{D}=1. \] \[ m_1=\frac{-5+1}{-2}=2,\qquad m_2=\frac{-5-1}{-2}=3. \] \[ -m^2+5m-6=-(m-2)(m-3). \] Минус остаётся, потому что \(a=-1\): \((m-2)(m-3)=m^2-5m+6\), а нам нужно с обратными знаками.

в) \(3x^2+5x-2\) \[ a=3,\ b=5,\ c=-2;\qquad D=25-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49,\ \sqrt{D}=7. \] \[ x_1=\frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{-5-7}{6}=-2. \] \[ 3x^2+5x-2=3\left(x-\frac{1}{3}\right)(x+2)=(3x-1)(x+2). \]

г) \(6x^2-13x+6\) \[ a=6,\ b=-13,\ c=6;\qquad D=169-4\cdot6\cdot6=169-144=25,\ \sqrt{D}=5. \] \[ x_1=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2},\qquad x_2=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}. \] \[ 6x^2-13x+6=6\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(2x-3)(3x-2). \]

Лайфхак по оформлению: если корень дробный, множитель с этим корнем удобно «впихнуть» тройку или шестёрку в скобку — \(3\left(x-\frac{1}{3}\right)=3x-1\), \(6\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3\). Так ответ выходит без дробей, и проверка по Виету (\(x_1+x_2=\frac{13}{6}\), \(x_1x_2=1\)) сходится.

Хочешь — так же оформлю №61 (там как раз квадраты двучленов) или №63 с доказательством тождеств.

Это всё первое слагаемое формулы \(D=b^2-4ac\). То есть \(144\) — это \(12^2\), \(25\) — это \(5^2\), \(169\) — это \(13^2\). Берём коэффициент \(b\) (тот, что стоит при \(x\) в первой степени) и возводим в квадрат.

Таблица по твоим пунктам:

Как читать таблицу:

• а) \(12^2=12\cdot12=144\). Второе слагаемое \(-112\), знак минус перед ним даёт \(144+112\).
• б) \(5^2=25\). Здесь \(4ac=24\) положительное, поэтому вычитаем: \(25-24=1\).
• в) снова \(5^2=25\), но \(c=-2\), поэтому \(4ac=-24\) и получаем \(25+24=49\).
• г) \(b=-13\), а \((-13)^2=169\) — минус в квадрате пропадает. Второе слагаемое \(4\cdot6\cdot6=144\), вычитаем: \(169-144=25\).

Обрати внимание на пункт г): там число \(25\) — это уже готовый дискриминант, а не \(b^2\). А в пунктах б) и в) \(25\) — это как раз \(b^2\). Поэтому одинаковые числа в разных местах могут значить разное, смотри, в какой строке они стоят.

Полезно помнить квадраты: \(11^2=121\), \(12^2=144\), \(13^2=169\), \(14^2=196\), \(15^2=225\). Тогда \(b^2\) будешь считать сразу, без ошибок вроде \(12^2=136\).

Тогда корень один (точнее, два одинаковых), и разложение на множители даёт квадрат двучлена.

Почему. В формуле \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \] при \(D=0\) будет \(\sqrt{D}=0\), и плюс с минусом дают одно и то же число: \[ x_1=x_2=-\frac{b}{2a}. \] Этот единственный корень называют ещё вершиной параболы — график в этой точке касается оси \(x\), а не пересекает её.

Разложение. Формула \(a(x-x_1)(x-x_2)\) превращается в \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2. \]

Пример 1 — твой из тетради: \(-4x^2+24x-36\). \[ D=24^2-4\cdot(-4)\cdot(-36)=576-576=0, \] \[ x=\frac{-24}{2\cdot(-4)}=\frac{-24}{-8}=3, \] \[ -4x^2+24x-36=-4(x-3)^2. \] Именно поэтому там не \((x-3)(x+3)\): скобки должны быть одинаковые.

Пример 2: \(x^2-6x+9\). \[ D=36-36=0,\quad x=\frac{6}{2}=3,\quad x^2-6x+9=(x-3)^2. \] Здесь можно было и сразу узнать формулу \((a-b)^2\).

Как быстро проверять себя: если \(D=0\), то левая часть обязана быть полным квадратом (возможно, со множителем). Раскрой ответ обратно — должен получиться исходный трёхчлен.

И для полноты: если \(D<0\), действительных корней нет, и на множители с действительными числами такой трёхчлен не раскладывается.

Тогда \(x=-\dfrac{3}{4}\), и это как раз случай \(D=0\).

Сначала про саму дробь. Сокращаем на 8: \[ \frac{-24}{2\cdot16}=\frac{-24}{32}=-\frac{24:8}{32:8}=-\frac{3}{4}. \] Минус остаётся перед дробью

Считаем так же — сначала умножаем знаменатель, потом сокращаем:

\[ x=\frac{-24}{2\cdot32}=\frac{-24}{64}. \]

Делим верх и низ на 8: \[ \frac{-24:8}{64:8}=-\frac{3}{8}. \]

То есть \(x=-\dfrac{3}{8}\) (это \(-0{,}375\)).

Что это значит в задаче. Если верх дроби — ровно \(-24\), без плюс-минус корня, значит \(\sqrt{D}=0\), то есть \(D=0\), и корень один: \[ x=-\frac{b}{2a}. \] Сравниваем со знаменателем: \(2a=64\), значит \(a=32\). С числителем: \(-b=-24\), значит \(b=24\). Свободный член находим из \(D=0\): \[ b^2=4ac \;\Rightarrow\; 576=4\cdot32\cdot c=128c \;\Rightarrow\; c=\frac{576}{128}=4{,}5. \] Получается уравнение \(32x^2+24x+4{,}5=0\), и его разложение: \[ 32x^2+24x+4{,}5=32\left(x+\frac{3}{8}\right)^2. \]

Сравни с прошлым случаем: там было \(\frac{-24}{32}=-\frac{3}{4}\), здесь \(\frac{-24}{64}=-\frac{3}{8}\). Числитель тот же, а знаменатель вдвое больше — поэтому и корень вдвое ближе к нулю.

Не вижу условия — фото или текст задания не прикрепились. Пришли, пожалуйста, уравнение (или фото страницы), и я сразу решу.

Если ты имел в виду то уравнение, которое мы только что собрали, — \(32x^2+24x+4{,}5=0\), — то у него \(D=0\) и единственный корень \(x=-\dfrac{3}{8}\).

Считаем:

\[ x=\frac{-24}{2\cdot16}=\frac{-24}{32}. \]

Сокращаем на 8: \[ \frac{-24:8}{32:8}=-\frac{3}{4}. \]

То есть \(x=-\dfrac{3}{4}\) (это \(-0{,}75\)).

Что это значит в задаче. В числителе стоит просто \(-24\), без \(\pm\sqrt{D}\) — значит, \(\sqrt{D}=0\), то есть \(D=0\), и корень один: \[ x=-\frac{b}{2a}. \] Сверяем со знаменателем: \(2a=32\), значит \(a=16\). По числителю: \(-b=-24\), значит \(b=24\). Свободный член находим из условия \(D=0\): \[ b^2=4ac \;\Rightarrow\; 576=4\cdot16\cdot c=64c \;\Rightarrow\; c=9. \]

Уравнение: \(16x^2+24x+9=0\), и это полный квадрат: \[ 16x^2+24x+9=(4x+3)^2=16\left(x+\frac{3}{4}\right)^2. \] Проверка: \((4x)^2=16x^2\), \(2\cdot4x\cdot3=24x\), \(3^2=9\). Всё сходится, и \(D=576-4\cdot16\cdot9=0\).

Сравни с прошлым вариантом, где внизу было \(2\cdot32=64\): там получилось \(x=-\dfrac{3}{8}\), \(a=32\), \(c=4{,}5\). Числитель тот же, а знаменатель вдвое больше — поэтому корень вдвое ближе к нулю, а само уравнение было \(32\left(x+\frac{3}{8}\right)^2\).

Правило простое: \(x=\dfrac{-24}{\text{низ}}\) — сократи дробь, и это и есть единственный корень.

61 а) \(x^2-2x+\dfrac12\)

Ответ: \[ x^2-2x+\frac12=\left(x-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(x-1+\frac{\sqrt2}{2}\right) \]

Ход решения. Здесь \(a=1,\ b=-2,\ c=\dfrac12\). Считаем дискриминант: \[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot\frac12=4-2=2. \] \(D>0\), значит корня два: \[ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt2}{2}=1\pm\frac{\sqrt2}{2}. \] По формуле \(a(x-x_1)(x-x_2)\) при \(a=1\): \[ x^2-2x+\frac12=\left(x-\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)\right)\left(x-\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\right). \]

Второй способ — через полный квадрат (здесь он даже быстрее): \[ x^2-2x+\frac12=(x^2-2x+1)-\frac12=(x-1)^2-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2. \] Дальше разность квадратов: \[ =\left(x-1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(x-1+\frac{\sqrt2}{2}\right). \]

Проверка: раскрой скобки обратно — \[ (x-1)^2-\frac12=x^2-2x+1-\frac12=x^2-2x+\frac12. \] Сходится.

Обрати внимание: корни получились иррациональные, потому что \(D=2\) не является полным квадратом. В номере 62 дискриминанты были полными квадратами, поэтому там множители выходили «красивыми».