5. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте. Точками показаны все равновозможные элементарные события опыта. Найдите

Краткий ответ: \(P(A\cup B)=\dfrac{m}{n}\), где \(n\) — число всех точек на рисунке (всех элементарных событий), а \(m\) — число точек, попавших хотя бы в один круг: в \(A\), в \(B\) или в их общую часть. Конкретную дробь я пока назвать не могу: на фото тёмная середина, где круги накладываются, сливается — сколько там точек, надёжно не разобрать.

Почему формула именно такая

1. Каждая точка — равновозможный исход, всего их \(n\). Значит, вероятность одной точки \(\frac{1}{n}\).
2. Событие \(A\cup B\) — «произошло \(A\) или \(B\)». Ему благоприятны все точки, лежащие в круге \(A\), в круге \(B\) и в их общей части. Пусть их \(m\).
3. Вероятность — сумма вероятностей благоприятных исходов: \(P(A\cup B)=m\cdot\frac{1}{n}=\frac{m}{n}\).

Важные тонкости

• Точка в пересечении считается в \(m\) только один раз.
• Точки вне обоих кругов входят в \(n\), но не в \(m\).
• Тёмная середина — это \(A\cap B\); в объединение \(A\cup B\) входят все три куска: \(A\) без середины, сама середина и \(B\) без середины.

Два способа проверить себя

• Через формулу сложения: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) — пересечение вычитаем, потому что при сложении посчитали его дважды.
• Через противоположное событие: \(P(A\cup B)=1-P(\overline{A}\cap\overline{B})\) — считаем только точки вне кругов.

Проверка на других числах (не с твоего рисунка): всего 10 точек, из них 6 лежат в кругах. Тогда \(P=\frac{6}{10}=0{,}6\). Контроль: вне кругов 4 точки, \(1-\frac{4}{10}=0{,}6\) — сходится.

Ответ записывают обыкновенной дробью (при возможности сократить) или десятичной.

Пришли, пожалуйста, чёткий крупный план диаграммы — тогда я посчитаю точки и доведу до конкретного числа.