Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = 3\).
Как рассуждать
Шаг 1. Узнать вид уравнения. Перед нами приведённое квадратное уравнение: \[ x^{2} - 5x + 6 = 0, \quad \text{то есть } x^{2} + bx + c = 0, \text{ где } b = -5,\ c = 6. \]
Шаг 2. Способ подбора по теореме Виета (самый быстрый, когда корни целые). Сумма корней равна \(-b = 5\), а произведение равно \(c = 6\): \[ x_{1} + x_{2} = 5, \qquad x_{1} \cdot x_{2} = 6. \] Ищем пары чисел с произведением 6: \(1\) и \(6\), \(2\) и \(3\). Сумма 5 даёт только пара \(2\) и \(3\).
Шаг 3. Тот же результат через дискриминант (работает всегда). \[ D = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1, \quad \sqrt{D} = 1, \] \[ x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_{1} = \frac{4}{2} = 2, \quad x_{2} = \frac{6}{2} = 3. \]
Шаг 4. Почему корней ровно два. Уравнение раскладывается на множители: \[ (x - 2)(x - 3) = 0. \] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x - 2 = 0\) или \(x - 3 = 0\).
Проверка
\[ 2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0, \] \[ 3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0. \]
Оба корня подходят.
Принцип для похожих заданий
- Приведи уравнение к виду \(x^{2} + bx + c = 0\).
- Если коэффициенты небольшие и корни, скорее всего, целые — пробуй Виета: ищи делители числа \(c\), сумма которых равна \(-b\).
- Если подбор не идёт (корни дробные или уравнение не приведённое) — считай дискриминант по формуле \(D = b^{2} - 4ac\). При \(D > 0\) два корня, при \(D = 0\) один, при \(D < 0\) корней нет.
- Всегда подставляй найденные числа в исходное уравнение — так ошибка сразу видна.
Небольшое замечание: квадратные уравнения обычно проходят позже 4 класса, так что если тема урока — литература, стоит уточнить у учителя, то ли это задание.
