217(199). Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Написать уравнение y = y(t). Найти, через какой промежуток времени тело будет на высоте: а) 15 м; б) 20 м; в) 25 м.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
217(199). Тело брошено вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Написать уравнение \(y = y(t)\). Найти, через какой промежуток времени тело будет на высоте: а) 15 м; б) 20 м; в) 25 м. Указание. Ось Y направить вертикально вверх; принять, что при \(t = 0\) \(y = 0\).
220(202). При выстреле из двустороннего пружинного пистолета (рис. 31) «снаряды» вылетели со скоростями 2 и 4 м/с. Каково расстояние между ними через 0,1 с? Длина трубки (первоначальное расстояние между «снарядами») 10 см. [Рисунок: двусторонний пружинный пистолет на подставке; из обоих концов горизонтальной трубки в противоположные стороны вылетают «снаряды», их траектории показаны пунктирными дугами, опускающимися к земле. Подпись: «Рис. 31».]
227(н). В выбранной системе отсчета (рис. 32) указаны положение материальной точки A и ее скорость \(v = 10\) м/с при \(t = 0\). Написать уравнения \(x = x(t)\) и \(y = y(t)\), а также уравнение траектории \(y = y(x)\), если \(OA = 20\) м. Решив полученные уравнения, найти: а) время полета тела; б) горизонтальную дальность полета. [Рисунок: оси \(X\) и \(Y\) с началом в точке \(O\); на оси \(Y\) выше начала координат отмечена точка \(A\); из точки \(A\) вправо направлен вектор скорости \(\vec v\). Подпись: «Рис. 32».]
234*(214). С балкона, расположенного на высоте 20 м, бросили мяч под углом 30° вверх от горизонта со скоростью 10 м/с. Направив ось X вдоль поверхности земли вправо, а ось Y вдоль стены дома вверх, написать уравнения зависимости координат от времени \(x = x(t)\) и \(y = y(t)\) и уравнение траектории \(y = y(x)\). Найти: а) координаты мяча через 2 с; б) через какой промежуток времени мяч упадет на землю; в) горизонтальную дальность полета.
Принимаю \(g=10\ \text{м/с}^2\) — числа задач рассчитаны на это; сопротивлением воздуха пренебрегаю.
1. № 217(199)
Кратко:
\[
y(t)=20t-5t^2
\]
а) на высоте \(15\) м — через \(1\) с и \(3\) с;
б) на высоте \(20\) м — через \(2\) с;
в) на высоте \(25\) м тело не окажется.
Решение. Ось \(Y\) направлена вверх, поэтому \(a_y=-g\), \(v_{0y}=20\) м/с, \(y_0=0\): \[ y(t)=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=20t-\frac{10t^2}{2}=20t-5t^2. \]
а) \(y=15\): \[ 20t-5t^2=15 \Rightarrow t^2-4t+3=0, \] \[ t_1=1\ \text{с},\qquad t_2=3\ \text{с}. \] Первый раз — при подъёме, второй — при спуске.
б) \(y=20\): \[ 20t-5t^2=20 \Rightarrow t^2-4t+4=0 \Rightarrow (t-2)^2=0, \] \[ t=2\ \text{с}. \] Это верхняя точка подъёма.
в) \(y=25\): \[ 20t-5t^2=25 \Rightarrow t^2-4t+5=0, \] \[ D=16-20=-4<0. \] Корней нет. Максимальная высота: \[ y_{\max}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{20^2}{20}=20\ \text{м}. \] До \(25\) м тело не поднимется.
2. № 220(202)
Кратко: расстояние между «снарядами» через \(0{,}1\) с равно
\[
0{,}70\ \text{м}.
\]
Решение. Снаряды вылетают горизонтально в противоположные стороны. Вертикально они падают одинаково, поэтому их вертикальные координаты в любой момент одинаковы. Значит, расстояние между ними равно разности горизонтальных координат.
Начальное расстояние: \[ L_0=10\ \text{см}=0{,}10\ \text{м}. \] За \(t=0{,}1\) с один пролетит \[ s_1=2\cdot0{,}1=0{,}2\ \text{м}, \] а второй: \[ s_2=4\cdot0{,}1=0{,}4\ \text{м}. \] Они удаляются в разные стороны, поэтому: \[ L=L_0+s_1+s_2=0{,}10+0{,}2+0{,}4=0{,}70\ \text{м}. \]
3. № 227(н)
Кратко:
\[
x(t)=10t,\qquad y(t)=20-5t^2,
\]
\[
y(x)=20-\frac{x^2}{20}.
\]
Время полёта:
\[
t_{\text{пол}}=2\ \text{с},
\]
горизонтальная дальность:
\[
x_{\max}=20\ \text{м}.
\]
Решение. По рис. 32 тело начинает движение из точки \(A\), то есть \(x_0=0\), \(y_0=20\) м. Скорость направлена горизонтально: \[ v_{0x}=10\ \text{м/с},\qquad v_{0y}=0. \] По горизонтали движение равномерное: \[ x=10t. \] По вертикали — свободное падение: \[ y=20-\frac{10t^2}{2}=20-5t^2. \]
Чтобы получить уравнение траектории, выразим \(t\) из \(x(t)\): \[ t=\frac{x}{10}. \] Подставим в \(y(t)\): \[ y=20-5\left(\frac{x}{10}\right)^2 =20-\frac{x^2}{20}. \]
В момент падения \(y=0\): \[ 20-5t^2=0 \Rightarrow t^2=4 \Rightarrow t=2\ \text{с}. \] Дальность: \[ x(2)=10\cdot2=20\ \text{м}. \]
Проверка: при \(x=20\) м получаем \(y=20-\frac{20^2}{20}=0\), то есть тело действительно на земле.
4. № 234*(214)
Кратко:
\[
x(t)=5\sqrt3\,t,\qquad y(t)=20+5t-5t^2,
\]
\[
y(x)=20+\frac{x}{\sqrt3}-\frac{x^2}{15}.
\]
а) через \(2\) с: \[ x=10\sqrt3\approx17{,}3\ \text{м},\qquad y=10\ \text{м}; \] б) время падения: \[ t=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2{,}56\ \text{с}; \] в) горизонтальная дальность: \[ x_{\max}\approx22{,}2\ \text{м}. \]
Решение. Начало координат — у основания стены, поэтому \[ x_0=0,\qquad y_0=20\ \text{м}. \] Начальная скорость \(10\) м/с направлена под углом \(30^\circ\) к горизонту: \[ v_{0x}=10\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3, \] \[ v_{0y}=10\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5. \]
Уравнения координат: \[ x(t)=5\sqrt3\,t, \] \[ y(t)=20+5t-\frac{10t^2}{2}=20+5t-5t^2. \]
Уравнение траектории получаем, исключая \(t\): \[ t=\frac{x}{5\sqrt3}. \] Тогда \[ y=20+5\cdot\frac{x}{5\sqrt3}-5\left(\frac{x}{5\sqrt3}\right)^2, \] \[ y=20+\frac{x}{\sqrt3}-\frac{x^2}{15}. \]
а) При \(t=2\) с: \[ x=5\sqrt3\cdot2=10\sqrt3\approx17{,}3\ \text{м}, \] \[ y=20+5\cdot2-5\cdot2^2=20+10-20=10\ \text{м}. \] Координаты: \[ (10\sqrt3;\ 10)\ \text{м}\approx(17{,}3;\ 10)\ \text{м}. \]
б) В момент падения \(y=0\): \[ 20+5t-5t^2=0, \] \[ t^2-t-4=0. \] \[ t=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}. \] Отрицательный корень не подходит, поэтому \[ t=\frac{1+\sqrt{17}}{2}\approx2{,}56\ \text{с}. \]
в) Горизонтальная дальность: \[ x_{\max}=v_{0x}t_{\text{пол}} =5\sqrt3\cdot\frac{1+\sqrt{17}}{2} \approx22{,}2\ \text{м}. \]
Общий принцип. По горизонтали ускорения нет, поэтому движение равномерное: \(x=x_0+v_{0x}t\). По вертикали действует ускорение \(a_y=-g\), поэтому \(y=y_0+v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}\). Уравнение траектории получают, выражая время из \(x(t)\) и подставляя его в \(y(t)\).
