Определи градусную меру углов, образованных прямыми в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁. Выбери верные варианты из списка.

Ответ: \[ \angle(B_1C;A_1B)=60^\circ,\qquad \angle(A_1C_1;DC)=45^\circ, \] \[ \angle(C_1D_1;AD)=90^\circ,\qquad \angle(AD;B_1C_1)=0^\circ. \]

Как понять принцип

Угол между прямыми не меняется, если заменить одну из них параллельной. Поэтому «сдвигаем» прямую до пересечения со второй и считаем обычный плоский угол. Берём меньший угол — от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

1. \(B_1C\parallel A_1D\), значит, нужный угол равен \(\angle DA_1B\). В треугольнике \(A_1BD\) все стороны — диагонали равных квадратов-граней: \(A_1B=A_1D=BD\). Треугольник равносторонний, поэтому угол \(60^\circ\).

2. \(A_1C_1\parallel AC\). Тогда \[ \angle(A_1C_1;DC)=\angle(AC;DC). \] Диагональ квадрата образует с его стороной \(45^\circ\).

3. \(C_1D_1\parallel CD\), а \(CD\perp AD\) как соседние стороны квадрата. Поэтому угол \(90^\circ\).

4. \(B_1C_1\parallel AD\), то есть прямые параллельны. Угол между ними \(0^\circ\).

Проверка: по векторам \[ \cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}. \] Для первой пары при ребре \(1\) можно взять \(\vec u=(1;0;-1)\), \(\vec v=(0;1;-1)\); тогда \(\cos\varphi=\frac12\), то есть \(\varphi=60^\circ\). Остальные значения также согласуются с найденными углами.