будут ли продолжения боковых сторон равнобедренной трапеции равны половинам этих боковых сторон

Нет, не обязательно. В равнобедренной трапеции продолжения боковых сторон до точки пересечения равны между собой, но каждое равно половине боковой стороны только в одном частном случае: когда большее основание в 3 раза больше меньшего.

Пусть \(AD\parallel BC\), \(AD=a\), \(BC=b\), \(a>b\), а \(AB=CD=l\). Продолжения боковых сторон пересекаются в точке \(O\). Обозначим \(OB=x\).

Так как \(BC\parallel AD\), треугольники \(OBC\) и \(OAD\) подобны:

\[ \frac{OB}{OA}=\frac{BC}{AD}=\frac{b}{a}. \]

При этом \(OA=OB+AB=x+l\), поэтому

\[ \frac{x}{x+l}=\frac{b}{a}. \]

Отсюда

\[ x=\frac{b}{a-b}\,l. \]

Чтобы продолжение было равно половине боковой стороны, нужно:

\[ \frac{b}{a-b}=\frac12, \]

то есть

\[ a=3b. \]

Значит:

• если большее основание в 3 раза больше меньшего, то продолжение действительно равно \(l/2\);
• в остальных случаях — нет.

Например, при основаниях \(6\) и \(2\) продолжение равно половине боковой стороны, а при основаниях \(5\) и \(2\) оно равно уже \(\frac23 l\).