Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0ук
Краткий ответ
\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]
Проверка: \(2+3=5\) (сумма корней равна \(-(-5)\)), \(2\cdot 3=6\) (произведение равно свободному члену). Всё сходится.
Ключевые шаги
Способ 1. Разложение на множители
Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6. Это 2 и 3:
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:
\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3 \]
Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Как действовать в похожем задании
- Выпиши коэффициенты: \(a=1,\; b=-5,\; c=6\).
- Если \(a=1\), сначала попробуй подобрать числа по теореме Виета: \(x_{1}+x_{2}=-b\), \(x_{1}x_{2}=c\).
- Если подобрать трудно — считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
- Обязательно подставь корни в исходное уравнение — так ловится ошибка в знаках.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Коротко
\(x\) — это неизвестное число, которое мы ищем. Запись \((x-2)(x-3)\) — это просто два числа \((x-2)\) и \((x-3)\), перемноженных друг на друга. Скобки раскрываются, и \(x\) появляется именно оттуда: при умножении \(x\) на \(x\) получается \(x^{2}\).
Шаг 1. Что такое \(x\) и зачем скобки
Мы ищем такое число \(x\), при котором выражение равно нулю. Идея такая: уравнение \(x^{2}-5x+6=0\) можно переписать в виде произведения двух множителей. Тогда не нужно искать корни «наугад» — достаточно понять, когда произведение равно нулю.
Шаг 2. Откуда берётся \(x\) при раскрытии скобок
Раскрываем по распределительному закону — каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй:
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3) \]
Считаем каждое произведение:
- \(x\cdot x=x^{2}\);
- \(x\cdot(-3)=-3x\);
- \((-2)\cdot x=-2x\);
- \((-2)\cdot(-3)=6\).
Складываем:
\[ x^{2}-3x-2x+6=x^{2}-5x+6 \]
Вот и получилось исходное выражение. То есть \(x\) ниоткуда не «появился» — он всё время был в скобках, а \(x^{2}\) возникает потому, что \(x\) умножили на \(x\).
Шаг 3. Почему из произведения получаются корни
Если произведение двух чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю: \(A\cdot B=0\) значит \(A=0\) или \(B=0\). Других вариантов нет — ноль получается только так.
Значит:
\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2 \]
\[ x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3 \]
Шаг 4. Проверка, что скобки подобраны верно
Убедимся на \(x=2\):
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
На \(x=3\):
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба раза ноль — значит, разложение \((x-2)(x-3)\) верное.
Как подбирать скобки самому
В выражении \(x^{2}+px+q\) при \(a=1\) ищем два числа \(m\) и \(n\), такие что:
\[ m+n=p,\qquad m\cdot n=q \]
Здесь \(p=-5\), \(q=6\). Подходят \(m=-2\) и \(n=-3\): сумма \(-5\), произведение \(6\). Тогда
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Обрати внимание на знаки: числа \(-2\) и \(-3\), а в скобках пишем \(x-2\) и \(x-3\) — то есть с противоположными знаками, потому что \((x-2)\) обращается в ноль при \(x=2\).
Если подобрать числа не получается, всегда выручает дискриминант — он не требует догадок.
