223. Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ − 5x² − 36 = 0; б) y⁴ − 6y² + 8 = 0

Краткий ответ

• а) \(x=\pm 3\);
• б) \(y=\pm 2,\ \pm\sqrt2\);
• в) действительных корней нет;
• г) \(x=\pm 1,\ \pm\dfrac12\);
• д) \(x=\pm\dfrac{\sqrt6}{3},\ \pm\dfrac{\sqrt3}{3}\);
• е) \(y=\pm\dfrac12\).

Как решать

Все эти уравнения биквадратные. Их общий принцип: сделать замену \(u=x^2\) — или, если переменная другая, \(u=y^2,\ u=t^2\). При этом обязательно \(u\ge 0\), потому что квадрат действительного числа неотрицателен.

Например, в пункте а):

\[ x^4-5x^2-36=0,\qquad u=x^2 \]

Получаем квадратное уравнение:

\[ u^2-5u-36=0 \]

Его корни:

\[ u=9 \quad \text{или} \quad u=-4 \]

Корень \(u=-4\) не подходит, так как \(x^2\ge0\). Значит:

\[ x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3 \]

Проверка для \(x=3\):

\[ 3^4-5\cdot3^2-36=81-45-36=0 \]

Теперь остальные пункты:

• б) \(u=y^2\): \[ u^2-6u+8=0 \Rightarrow u=2,\ 4 \] Поэтому \[ y=\pm\sqrt2,\quad y=\pm2. \]

• в) \(u=t^2\): \[ u^2+10u+25=(u+5)^2=0 \] Получается \(u=-5\), но \(u=t^2\ge0\). Значит, действительных корней нет.

• г) \(u=x^2\): \[ 4u^2-5u+1=0 \] Корни: \[ u=1,\quad u=\frac14 \] Отсюда \[ x=\pm1,\quad x=\pm\frac12. \]

• д) \(u=x^2\): \[ 9u^2-9u+2=0 \] Корни: \[ u=\frac23,\quad u=\frac13 \] Поэтому \[ x=\pm\sqrt{\frac23}=\pm\frac{\sqrt6}{3}, \qquad x=\pm\sqrt{\frac13}=\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]

• е) \(u=y^2\): \[ 16u^2-8u+1=0 \] Это квадрат разности: \[ (4u-1)^2=0 \Rightarrow u=\frac14 \] Значит, \[ y^2=\frac14 \Rightarrow y=\pm\frac12. \]

Главное правило: после нахождения \(u\) отрицательные значения сразу отбрасываем, а из неотрицательных получаем \(x=\pm\sqrt{u}\).