Контрольная работа по геометрии. Вариант 1. 1. Периметр параллелограмма ABCD равен 80 см. ∠ A = 30°, а перпендикуляр BH к прямой AD равен 7,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

Кратко

1. \(AB=CD=15\) см, \(AD=BC=25\) см.
2. Боковые стороны равнобедренной трапеции равны \(6\) см.
3. Острый угол между диагоналями \(60^\circ\). При этом \(\angle AOB=120^\circ\).
4. \(KP=16\) см.

Как это получается

1. Пусть \(AB=a\), \(AD=b\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\) высота \(BH\) лежит против угла \(30^\circ\), поэтому \[ BH=AB\sin30^\circ. \] Значит, \[ 7,5=a\cdot \frac12,\quad a=15. \] Периметр параллелограмма: \[ 2(a+b)=80 \Rightarrow a+b=40. \] Тогда \(b=40-15=25\).

2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а соседние углы дают в сумме \(180^\circ\). Если один угол \(120^\circ\), то острый угол при основании равен \(60^\circ\).

Разность оснований: \[ 14-8=6. \] Из-за симметрии на каждый край приходится по \(3\) см. Если боковая сторона равна \(l\), то в прямоугольном треугольнике \[ \cos60^\circ=\frac{3}{l},\quad l=\frac{3}{0,5}=6. \]

3. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(AO=BO\). Треугольник \(AOB\) равнобедренный: \[ \angle OAB=\angle ABO=30^\circ. \] Тогда \[ \angle AOB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ. \] Смежный с ним угол равен \[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \] Обычно угол между прямыми берут меньшим, поэтому ответ \(60^\circ\).

4. Так как \(KE\) — биссектриса угла \(K\), \[ \angle MKE=\angle EKP. \] Но \(KP\parallel MN\), поэтому \[ \angle EKP=\angle KEM. \] Значит, \[ \angle MKE=\angle KEM, \] и треугольник \(KME\) равнобедренный: \[ KM=ME=10\text{ см}. \] Периметр параллелограмма: \[ 2(KM+MN)=52. \] Отсюда \[ KM+MN=26,\quad 10+MN=26,\quad MN=16. \] Противоположные стороны равны, поэтому \[ KP=MN=16\text{ см}. \]

Проверка

• \(2(15+25)=80\), \(15\sin30^\circ=7,5\).
• \(8+2\cdot3=14\), \(3:\cos60^\circ=6\).
• \(30^\circ+30^\circ+120^\circ=180^\circ\).
• \(2(10+16)=52\).